2009年考研数学二第2题

首先，我们分析函数 $g(x) = \ln(1 - bx^3)$ 在 $x \to 0$ 时的行为。由于 $x \to 0$ 时，$bx^3 \to 0$，因此可以利用对数函数在 $u \to 0$ 时的等价无穷小替换：$\ln(1+u) \sim u$。这里 $u = -bx^3$，所以有 $\ln(1 - bx^3) \sim -bx^3$。 具体推导如下： 已知当 $u \to 0$ 时，$\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \cdots$，因此 $\ln(1+u) \sim u$。令 $u = -bx^3$，则 $\ln(1 - bx^3) \sim -bx^3$。 因此，$g(x) \sim -b x^3$ 当 $x \to 0$。 注意：这里 $b$ 是常数，且 $b \neq 0$（否则 $g(x) \equiv 0$，无意义）。该等价无穷小替换在 $x \to 0$ 时成立，且 $bx^3$ 是 $x$ 的三阶无穷小，因此 $g(x)$ 也是 $x$ 的三阶无穷小。

已知函数 $f(x) = x - \sin(ax)$，其中 $a$ 为常数。为了分析 $x \to 0$ 时 $f(x)$ 的无穷小阶数，我们需要将 $\sin(ax)$ 展开为泰勒级数。 首先，回忆正弦函数的麦克劳林展开式： $$\sin t = t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{t^{2n-1}}{(2n-1)!} + o(t^{2n-1})$$ 令 $t = ax$，代入展开式，并保留到 $x^3$ 项（因为后续需要比较 $x$ 的一次项和三次项）： $$\sin(ax) = ax - \frac{(ax)^3}{3!} + o(x^3) = ax - \frac{a^3 x^3}{6} + o(x^3)$$ 将上述展开式代入 $f(x)$： $$f(x) = x - \left( ax - \frac{a^3 x^3}{6} + o(x^3) \right)$$ 化简得： $$f(x) = x - ax + \frac{a^3 x^3}{6} + o(x^3) = (1-a)x + \frac{a^3}{6}x^3 + o(x^3)$$ 至此，我们得到了 $f(x)$ 在 $x=0$ 附近的泰勒展开式。该展开式清晰地显示了 $f(x)$ 由一次项和三次项组成，其中一次项系数为 $(1-a)$，三次项系数为 $\frac{a^3}{6}$。后续步骤将根据 $a$ 的不同取值讨论 $f(x)$ 的无穷小阶数。