2009年考研数学二第3题

已知全微分形式为 $dz = x\,dx + y\,dy$，我们需要找到原函数 $f(x,y)$ 使得 $df = dz$。 根据全微分的定义，若 $f(x,y)$ 可微，则其全微分为 $df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$。因此，由 $dz = x\,dx + y\,dy$ 可得： $$ \frac{\partial f}{\partial x} = x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = y. $$ 首先对 $\frac{\partial f}{\partial x} = x$ 关于 $x$ 积分，将 $y$ 视为常数： $$ f(x,y) = \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + \varphi(y), $$ 其中 $\varphi(y)$ 是仅依赖于 $y$ 的待定函数。 接下来，对上述表达式求关于 $y$ 的偏导数： $$ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x^2}{2} + \varphi(y)\right) = \varphi'(y). $$ 由已知条件 $\frac{\partial f}{\partial y} = y$，得到 $\varphi'(y) = y$。对 $y$ 积分： $$ \varphi(y) = \int y\,dy = \frac{y^2}{2} + C, $$ 其中 $C$ 为任意常数。 将 $\varphi(y)$ 代回 $f(x,y)$ 的表达式，得原函数： $$ f(x,y) = \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} + C = \frac{x^2 + y^2}{2} + C. $$ 验证：对 $f(x,y)$ 求全微分， $$ df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy = x\,dx + y\,dy, $$ 与题目给出的 $dz$ 一致，说明求得的原函数正确。

首先，由第一步已求得函数$f(x,y)=x^2+y^2+1$的梯度为$\nabla f=(2x,2y)$，令其为零向量，解得驻点为$(0,0)$。 接下来，计算二阶偏导数： $$f_{xx}=2,\quad f_{xy}=0,\quad f_{yy}=2.$$ 在驻点$(0,0)$处，记$A=f_{xx}(0,0)=2$，$B=f_{xy}(0,0)=0$，$C=f_{yy}(0,0)=2$。 利用二元函数极值的判别式： $$\Delta = AC - B^2 = 2 \times 2 - 0^2 = 4 > 0.$$ 由于$\Delta>0$且$A=2>0$，根据极值判定定理，点$(0,0)$是函数的极小值点。极小值为$f(0,0)=1$。 验证：函数$f(x,y)=x^2+y^2+1$可改写为$f(x,y)=(x^2+y^2)+1$，显然当$x=y=0$时取得最小值1，与上述结论一致。