2009年考研数学二第4题

在第一步中，我们已经将积分区域 $D$ 分解为两个子区域 $D_1$ 和 $D_2$，并分别写出对应的累次积分： $$ \iint_{D_1} f(x,y) \,dxdy = \int_1^2 dx \int_x^{2} f(x,y) \,dy, \quad \iint_{D_2} f(x,y) \,dxdy = \int_2^3 dx \int_x^{4-x} f(x,y) \,dy. $$ 现在需要将这两个积分合并为一个二重积分。观察两个积分区域在 $x$ 轴上的投影：第一个积分中 $x$ 从 $1$ 到 $2$，第二个积分中 $x$ 从 $2$ 到 $3$。合并后 $x$ 的范围为 $[1,3]$。对于每个 $x$，$y$ 的下限均为 $y=x$（因为两个子区域中 $y$ 的下限都是直线 $y=x$）。而 $y$ 的上限需要分段考虑：当 $x \in [1,2]$ 时，$y$ 的上限为 $2$；当 $x \in [2,3]$ 时，$y$ 的上限为 $4-x$。因此，合并后的二重积分不能直接写成一个统一的累次积分，而应表示为分段函数的形式： $$ \iint_D f(x,y) \,dxdy = \int_1^3 dx \int_x^{g(x)} f(x,y) \,dy, $$ 其中 $$ g(x) = \begin{cases} 2, & 1 \le x \le 2, \\ 4-x, & 2 \le x \le 3. \end{cases} $$ 然而，题目所给的四个选项均为单一表达式形式的累次积分，没有分段函数。我们需要检查是否有选项能够等价地表示这个积分。观察选项： (A) $\int_1^3 dx \int_1^{4-x} f(x,y) \,dy$ (B) $\int_1^2 dx \int_x^{4-x} f(x,y) \,dy$ (C) $\int_1^3 dx \int_1^{2} f(x,y) \,dy$ (D) $\int_1^2 dx \int_1^{x} f(x,y) \,dy$ 注意选项 (B) 中 $x$ 的范围是 $[1,2]$，$y$ 的下限是 $x$，上限是 $4-x$。当 $x \in [1,2]$ 时，$4-x \ge 2$，因此积分区域为 $\{(x,y) \mid 1 \le x \le 2,\, x \le y \le 4-x\}$。这个区域正是我们第一步中 $D_1$ 和 $D_2$ 的并集吗？实际上，在 $x \in [1,2]$ 时，$y$ 从 $x$ 到 $4-x$ 覆盖了从直线 $y=x$ 到直线 $y=4-x$ 的整个区域，而 $y=2$ 这条水平线位于该区域内（因为当 $x=1$ 时，$4-x=3$；当 $x=2$ 时，$4-x=2$）。因此，选项 (B) 的积分区域恰好是 $D_1 \cup D_2$，即整个三角形区域。所以合并后的二重积分可以写成选项 (B) 的形式。其他选项均不符合：选项 (A) 中 $y$ 下限为常数 $1$，错误；选项 (C) 中 $y$ 上限为常数 $2$，且 $x$ 范围到 $3$，错误；选项 (D) 中 $y$ 上限为 $x$，区域为三角形下方，错误。因此正确答案是 (B)。