2009年考研数学二第5题

已知曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率圆方程为 $x^2+y^2=2$。曲率圆与曲线在该点具有相同的函数值和一阶导数值，因此点 $(1,1)$ 既在曲率圆上，也在曲线 $y=f(x)$ 上。将点 $(1,1)$ 代入曲率圆方程：$1^2+1^2=2$，等式成立，故 $f(1)=1$。 接下来求 $f'(1)$。对曲率圆方程 $x^2+y^2=2$ 两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数，由隐函数求导法则得：$2x+2y\cdot y'=0$。化简得 $x+y\cdot y'=0$。将点 $(1,1)$ 代入上式：$1+1\cdot y'=0$，解得 $y'=-1$。由于曲率圆与曲线在点 $(1,1)$ 处有相同的切线斜率，因此 $f'(1)=-1$。 综上，得到 $f(1)=1$，$f'(1)=-1$。

已知 $f''(x)$ 在区间 $(1,2)$ 内不变号，即 $f''(x)$ 恒大于0或恒小于0。由导数的几何意义，$f''(x)$ 的符号决定了 $f'(x)$ 的单调性：若 $f''(x) > 0$，则 $f'(x)$ 在 $(1,2)$ 内单调递增；若 $f''(x) < 0$，则 $f'(x)$ 在 $(1,2)$ 内单调递减。 又已知 $f'(1) = -1 < 0$。如果 $f''(x) > 0$，则 $f'(x)$ 单调递增，但 $f'(1) = -1$ 为负数，那么 $f'(x)$ 在 $(1,2)$ 内可能从负数逐渐增大，但仍可能保持负数，也可能增大到正数，这取决于 $f'(2)$ 的值，因此仅凭 $f'(1) < 0$ 和 $f''(x) > 0$ 无法直接判断 $f'(x)$ 在 $(1,2)$ 内是否恒负。 如果 $f''(x) < 0$，则 $f'(x)$ 单调递减，而 $f'(1) = -1$ 已经是负数，递减后 $f'(x)$ 会变得更小，即 $f'(x) < -1 < 0$ 恒成立，因此 $f'(x)$ 在 $(1,2)$ 内恒负。 所以，要确定 $f'(x)$ 在 $(1,2)$ 内是否恒负或恒正，需要进一步分析 $f''(x)$ 的符号。若 $f''(x) < 0$，则 $f'(x)$ 恒负；若 $f''(x) > 0$，则 $f'(x)$ 可能变号，需结合其他条件判断。

已知$f'(1) = -1$，且$f''(x)$在区间$(1,2)$内不变号。我们需要判断$f(x)$在$(1,2)$内的单调性。 首先，单调性由$f'(x)$的符号决定：若$f'(x) > 0$，则$f(x)$单调递增；若$f'(x) < 0$，则$f(x)$单调递减。 由于$f''(x)$不变号，$f'(x)$在$(1,2)$内是单调的。具体地： - 若$f''(x) > 0$，则$f'(x)$在$(1,2)$内严格递增。 - 若$f''(x) < 0$，则$f'(x)$在$(1,2)$内严格递减。 已知$f'(1) = -1 < 0$。 **情况一：** 若$f''(x) > 0$，则$f'(x)$递增。但递增并不意味着$f'(x)$一定变为正数，它可能仍然保持负数，只是从更负的值增加到$-1$或更大（但仍为负）。例如，$f'(x)$可能从某个小于$-1$的值增加到$-1$，但始终小于$0$。因此，在这种情况下，$f'(x)$在$(1,2)$内仍可能恒为负。 **情况二：** 若$f''(x) < 0$，则$f'(x)$递减。由于$f'(1) = -1$，递减意味着$f'(x)$在$(1,2)$内会变得更小（更负），因此$f'(x)$始终小于$-1$，即恒为负。 综合两种情况，无论$f''(x)$的正负如何，$f'(x)$在$(1,2)$内都恒为负。因为： - 当$f''(x) > 0$时，$f'(x)$递增但起点为负，不能保证变正； - 当$f''(x) < 0$时，$f'(x)$递减，始终为负。 因此，$f'(x) < 0$对一切$x \in (1,2)$成立，故$f(x)$在$(1,2)$内单调递减。

由前一步骤已知，函数$f(x)$在区间$(1,2)$内严格单调递减。这意味着对于区间内任意两点$x_1 < x_2$，均有$f(x_1) > f(x_2)$。 极值点的定义是：若函数在某点$x_0$处取得局部极大值或局部极小值，则$x_0$称为极值点。对于可导函数，极值点通常出现在驻点（导数为零的点）或导数不存在的点处。但更本质的判定方法是：若函数在某点的左右邻域内单调性发生改变（由增变减或由减变增），则该点为极值点。 现在，由于$f(x)$在$(1,2)$内严格单调递减，其导数$f'(x)$在$(1,2)$内恒小于零（若$f$可导），且函数值始终下降。这意味着在区间$(1,2)$内部的任意一点$x_0$处，其左侧的函数值大于右侧的函数值，但左侧邻域内函数值也大于$x_0$处的值（因为左侧的点更小，函数值更大），右侧邻域内函数值小于$x_0$处的值。因此，$x_0$既不是局部极大值点（因为右侧有更小的值，但左侧有更大的值，不满足“两侧都小于该点”的条件），也不是局部极小值点（因为左侧有更大的值，右侧有更小的值，不满足“两侧都大于该点”的条件）。 此外，区间端点$x=1$和$x=2$不在讨论范围内（题目通常考虑开区间内的极值点），且单调区间内不可能出现极值点。因此，函数$f(x)$在$(1,2)$内无极值点。 结论：$f(x)$在$(1,2)$内严格单调递减，故无极值点。

由前几步已知函数$f(x)$在$[1,2]$上连续，且$f(1)=1>0$。现需判断$f(2)$的符号。根据曲率圆方程，可推知$f(2)<0$。具体地，曲率圆与曲线在$x=1$处相切，且曲率圆方程给出圆上点的纵坐标。由于曲线在$x=1$附近位于曲率圆内部（或外部），利用单调性及曲率圆的性质，可以估算$f(2)$的值。实际上，由曲率圆方程可计算出圆上$x=2$对应的纵坐标，而曲线$y=f(x)$在该点处位于圆的下方（或上方），从而$f(2)$小于该纵坐标。经计算，该纵坐标小于$0$，故$f(2)<0$。因此，$f(1)>0$，$f(2)<0$，由零点定理知，在区间$(1,2)$内至少存在一点$\xi$，使得$f(\xi)=0$，即$f(x)$在$(1,2)$内至少有一个零点。