2009年考研数学二第6题

首先，根据题目给出的图形（或函数定义），我们需要确定函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,0)$ 上的具体取值。观察图形可知，当自变量 $x$ 满足 $-1 \leq x < 0$ 时，函数图像是一条水平直线，且该直线对应的纵坐标值为 $1$。这意味着在该区间内，函数值恒为常数 $1$，即对于任意 $x \in [-1,0)$，都有 $f(x)=1$。这一结论直接来源于图形的几何直观：水平线表示函数值不随 $x$ 变化。因此，我们得到 $f(x)$ 在 $[-1,0)$ 上的表达式为 $f(x)=1$。这一信息是后续计算积分或进行其他分析的基础。

在区间 $[-1,0)$ 上，由题目已知条件，被积函数 $f(t)$ 的表达式为 $f(t)=1$。根据变上限积分函数 $F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ 的定义，当 $x$ 属于 $[-1,0)$ 时，积分下限为 $0$，上限为 $x$（注意此时 $x<0$，因此积分方向是从 $0$ 到 $x$，即从较大的数到较小的数，积分值等于负的从 $x$ 到 $0$ 的积分，但直接代入公式计算更为简便）。 直接计算： $$F(x)=\int_0^x f(t)\,dt = \int_0^x 1\,dt = \left. t \right|_{0}^{x} = x - 0 = x.$$ 因此，在区间 $[-1,0)$ 上，$F(x)=x$。该函数是一条过原点的直线，斜率为 $1$。注意，由于 $x$ 的取值范围是 $[-1,0)$，所以 $F(x)$ 的值域为 $[-1,0)$。特别地，当 $x=-1$ 时，$F(-1)=-1$；当 $x$ 趋近于 $0$ 时（从左侧），$F(x)$ 趋近于 $0$。 此结果与步骤概要中的结论一致：$F(x)$ 在 $[-1,0)$ 上为过原点的直线。

本步骤的目标是利用已知条件中$F(x)$在$x<0$时的图形特征来排除不符合的选项。题目中给出的$F(x)$是某个函数$f(x)$的原函数，且已知$F(x)$在$x<0$时是线性函数（即一次函数），其图形为一条直线。观察四个选项中的图形： - 选项A：在$x<0$部分，$F(x)$的图形是一条曲线（非直线），因此与已知条件矛盾，排除A。 - 选项C：同样，在$x<0$部分，$F(x)$的图形呈现弯曲形状（例如抛物线或其它曲线），不是直线，因此排除C。 - 选项B：在$x<0$部分，$F(x)$的图形是一条斜率为正的直线，符合线性特征。 - 选项D：在$x<0$部分，$F(x)$的图形也是一条直线，但斜率为负，也符合线性特征。 因此，经过本步骤的筛选，选项A和C被排除，剩余选项B和D进入后续步骤进一步判断。该步骤的关键在于识别原函数在负半轴上的线性性质，这通常来源于$f(x)$在$x<0$时为常数（例如$f(x)=1$或$f(x)=-1$），从而$F(x)$为一次函数。

已知函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,3]$ 上只有两个第一类间断点（设为 $x_1$ 和 $x_2$），且 $F(x)=\int_{-1}^{x} f(t)\,dt$ 是变上限积分函数。我们需要判断 $F(x)$ 在 $[-1,3]$ 上的连续性。 根据变上限积分函数的性质：若 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积（黎曼可积），则其变上限积分函数 $F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt$ 在 $[a,b]$ 上连续。这里 $f(x)$ 在 $[-1,3]$ 上只有两个第一类间断点，而第一类间断点不影响函数的可积性（因为第一类间断点处的跳跃是有限的，函数在区间上仍然有界且几乎处处连续，故黎曼可积）。因此 $f(x)$ 在 $[-1,3]$ 上可积。 进一步，对于任意 $x_0 \in [-1,3]$，考虑 $F(x)$ 在 $x_0$ 处的连续性。由变上限积分函数的连续性定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt$ 在 $[a,b]$ 上连续。证明思路：对任意 $x_0 \in [a,b]$，有 $$|F(x)-F(x_0)| = \left|\int_{x_0}^{x} f(t)\,dt\right| \leq M|x-x_0|,$$ 其中 $M$ 是 $|f(t)|$ 在 $[a,b]$ 上的一个上界（因为 $f$ 有界）。当 $x \to x_0$ 时，$|F(x)-F(x_0)| \to 0$，故 $F$ 在 $x_0$ 处连续。 因此，尽管 $f(x)$ 在 $x_1$ 和 $x_2$ 处有第一类间断点（跳跃间断点），但 $F(x)$ 在这些点处仍然连续。实际上，$F(x)$ 在间断点处的左右极限相等，因为积分值的变化量趋于零。例如，在 $x_1$ 处，$F(x_1^+)-F(x_1^-)=\int_{x_1^-}^{x_1^+} f(t)\,dt=0$（因为单点积分值为零），所以 $F$ 在 $x_1$ 处连续。 综上，$F(x)$ 在 $[-1,3]$ 上处处连续。

首先，分析选项B中函数$F(x)$在$x=0$处的连续性。由前几步可知，当$x \neq 0$时，$F(x) = \frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt$，且$f(x)$在$x=0$处连续，$f(0)=1$。计算$\lim_{x \to 0} F(x)$：利用洛必达法则，$\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x f(t)dt}{x} = \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 1$。而选项B中定义$F(0)=0$，因此$\lim_{x \to 0} F(x) = 1 \neq F(0) = 0$，故$F(x)$在$x=0$处为可去间断点（跳跃间断的一种），不连续。根据题目要求，$F(x)$应为连续函数，故排除选项B。 接着检查剩余选项D。选项D中，$F(x) = \int_0^1 f(xt)dt$。令$u = xt$，则当$t$从0到1时，$u$从0到$x$，$dt = \frac{du}{x}$（$x \neq 0$时），于是$F(x) = \int_0^x f(u) \cdot \frac{1}{x} du = \frac{1}{x}\int_0^x f(u)du$，与选项A、B、C中$x \neq 0$时的表达式一致。当$x=0$时，$F(0) = \int_0^1 f(0) dt = \int_0^1 1 dt = 1$。而$\lim_{x \to 0} F(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\int_0^x f(u)du = f(0) = 1$，因此$\lim_{x \to 0} F(x) = F(0)$，$F(x)$在$x=0$处连续。又因为$f(x)$连续，$F(x)$在$x \neq 0$处也连续，故$F(x)$在全体实数上连续。 最终验证：选项D满足$F(x)$为连续函数，且当$x \neq 0$时与其余选项的表达式一致，因此选项D为正确答案。