2009年考研数学二第21题

解答题 · 11分

📝 题目

（I）证明拉格朗日中值定理：若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则存在点 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$ 。 （II）证明：若函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，在 $(0, \delta)(\delta\gt 0)$ 内可导，且 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=A$ ，则 $f_{+}^{\prime}(0)$存在，且 $f_{+}^{\prime}(0)=A$ ．

💡 答案解析

**答案**: 见解析

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**解析**:

（I）令 $\varphi(x)=f(x)-f(a)-\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ ， 显然 $\varphi(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导， 又 $\varphi(a)=\varphi(b)=0$ ，所以由罗尔定理，存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $\varphi^{\prime}(\xi)=0$ 。 而 $\varphi^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ，所以 $f^{\prime}(\xi)-\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$ ，即

$$ f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a) $$

（II）取 $x \in(0, \delta)$ ，因为 $f(x)$ 在 $[0, \delta]$ 上连续，在 $(0, \delta)$ 内可导，所以由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in(0, x)$ ，使得

$$ f(x)-f(0)=f^{\prime}(\xi) x $$

即 $\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x}=f^{\prime}(\xi)$ ，两边取极限得 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(\xi)$ ， 因为 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=A$ ，所以 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(\xi)=\displaystyle\lim _{\xi \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(\xi)=A$ ， 于是 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(\xi)=A$ ，即 $f_{+}^{\prime}(0)=A$ ．

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：构造辅助函数，满足罗尔定理条件
为了应用罗尔定理证明题目中的结论，首先需要构造一个合适的辅助函数，使其在区间端点处的函数值相等。令 $$\varphi(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a),$$ 其中$f(x)$是题目中给定的在$[a,b]$上连续、在$(a,b)$内可导的函数。 验证$\varphi(x)$满足罗尔定理的条件： 1. **连续性**：由于$f(x)$在$[a,b]$上连续，常数$f(a)$、$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$以及线性函数$x-a$在$[a,b]$上均连续，因此$\varphi(x)$在$[a,b]$上连续。 2. **可导性**：由于$f(x)$在$(a,b)$内可导，常数和线性函数的导数为常数或零，因此$\varphi(x)$在$(a,b)$内可导，且 $$\varphi'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ 3. **端点值相等**：计算$\varphi(a)$和$\varphi(b)$： - 当$x=a$时， $$\varphi(a)=f(a)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a)=0.$$ - 当$x=b$时， $$\varphi(b)=f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=f(b)-f(a)-[f(b)-f(a)]=0.$$ 因此$\varphi(a)=\varphi(b)=0$。 综上，$\varphi(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$\varphi(a)=\varphi(b)$，满足罗尔定理的全部条件。根据罗尔定理，存在一点$\xi\in(a,b)$，使得$\varphi'(\xi)=0$，即$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。这正是拉格朗日中值定理的结论。
公式：\varphi(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)
提示：构造辅助函数的关键是使端点函数值相等，常用方法是减去过端点的线性函数。
步骤 2/6
目标：应用罗尔定理，得到导数为零的点
首先，回顾罗尔定理的条件：若函数 $F(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，且 $F(a)=F(b)$，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $F'(\xi)=0$。 在本题中，我们已构造辅助函数 $\varphi(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$。需要验证 $\varphi(x)$ 满足罗尔定理的条件： 1. 连续性：由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$\varphi(x)$ 由 $f(x)$ 与线性函数组合而成，故 $\varphi(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。 2. 可导性：$f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导，线性函数也可导，因此 $\varphi(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导。 3. 端点值相等：计算 $\varphi(a)=f(a)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a)=0$；$\varphi(b)=f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=f(b)-f(a)-[f(b)-f(a)]=0$。所以 $\varphi(a)=\varphi(b)=0$。 因此，$\varphi(x)$ 满足罗尔定理的全部条件。由罗尔定理，存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $\varphi'(\xi)=0$。 接下来计算 $\varphi'(x)$： $$\varphi'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ 代入 $x=\xi$ 得： $$\varphi'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0.$$ 从而得到关键等式： $$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ 此即拉格朗日中值定理的结论。本步骤通过罗尔定理成功找到了导数为零的点 $\xi$，并导出了 $f'(\xi)$ 与差商的关系。
公式：$$\varphi'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$$
提示：验证罗尔定理条件时，务必逐条检查，尤其是端点值相等的计算。
步骤 3/6
目标：推导出拉格朗日中值公式
在构造辅助函数 $\varphi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ 之后，我们需要利用罗尔定理来推导拉格朗日中值公式。首先，计算 $\varphi(x)$ 的导数。由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 内可导，且 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 是常数，因此 $\varphi(x)$ 也在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 内可导。对 $\varphi(x)$ 求导得： $$ \varphi'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. $$ 根据罗尔定理，因为 $\varphi(a)=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a)=f(a)$，$\varphi(b)=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=f(b)-[f(b)-f(a)]=f(a)$，所以 $\varphi(a)=\varphi(b)$。又 $\varphi(x)$ 满足罗尔定理的条件，故存在一点 $\xi\in(a,b)$，使得 $\varphi'(\xi)=0$。将 $\xi$ 代入导函数表达式： $$ \varphi'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0. $$ 移项即得 $$ f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. $$ 将等式两边乘以 $(b-a)$，得到拉格朗日中值公式的标准形式： $$ f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a). $$ 这个公式表明，在区间 $[a,b]$ 上，存在一点 $\xi$，使得函数在该点的瞬时变化率（导数）等于区间上的平均变化率。至此，我们完成了从辅助函数到拉格朗日中值公式的推导。
公式：f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)
提示：记住构造辅助函数的关键：减去线性项使端点值相等，从而应用罗尔定理。
步骤 4/6
目标：在第(II)问中应用拉格朗日中值定理于小区间
在第(II)问中，我们已知$f(0)=0$，且$f'(x)$在$x=0$处连续且$f'(0)=0$。为了证明$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x^2} = \frac{1}{2}f''(0)$，我们需要对任意充分小的$x>0$应用拉格朗日中值定理。 首先，由于$f$在$[0,\delta]$上连续，在$(0,\delta)$内可导（由题目条件$f$在$x=0$的某邻域内具有二阶连续导数可知），因此对任意$x \in (0,\delta)$，函数$f$在闭区间$[0,x]$上连续，在开区间$(0,x)$内可导。根据拉格朗日中值定理，存在一点$\xi \in (0,x)$，使得 $$f(x)-f(0)=f'(\xi)(x-0)$$ 由于$f(0)=0$，上式化为 $$f(x)=f'(\xi)x$$ 其中$\xi$依赖于$x$，且满足$0<\xi
公式：$$f(x)=f'(\xi)x, \quad \xi \in (0,x)$$
提示：注意拉格朗日中值定理中的$\xi$依赖于$x$，且$0<\xi
步骤 5/6
目标：将差商表示为导数值并取极限
由拉格朗日中值定理，存在$\xi \in (0, x)$，使得 $$\frac{f(x)-f(0)}{x} = f'(\xi).$$ 对上式两边取$x \to 0^+$的极限，得 $$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^+} f'(\xi).$$ 由于$\xi \in (0, x)$，当$x \to 0^+$时，必有$\xi \to 0^+$。因此， $$\lim_{x \to 0^+} f'(\xi) = \lim_{\xi \to 0^+} f'(\xi).$$ 已知$\lim_{x \to 0^+} f'(x) = A$，故 $$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x} = A.$$ 这表明函数$f(x)$在$x=0$处的右导数为$A$。
公式：$$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^+} f'(\xi) = \lim_{\xi \to 0^+} f'(\xi) = A$$
提示：注意中值点$\xi$随$x$变化，取极限时需将$\xi$视为新变量。
步骤 6/6
目标：得出单侧导数存在且等于A的结论
由导数定义，函数$f(x)$在$x=0$处的右导数定义为 $$ f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}. $$ 根据题目条件，当$x\to 0^+$时，$\frac{f(x)-f(0)}{x}\to A$，因此该极限存在且等于$A$。于是右导数$f'_+(0)$存在，且$f'_+(0)=A$。同理，左导数$f'_-(0)$也可类似讨论（若条件对称），但本步骤仅需得出单侧导数存在且等于$A$的结论。至此，我们完成了全部推导，最终结论为：$f(x)$在$x=0$处的右导数存在且等于$A$。
公式：$$f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}=A$$
提示：注意单侧导数定义中分母是x-0，分子是f(x)-f(0)，不要写反。

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