2009年考研数学二第22题
📝 题目
设
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1 \\
-1 & 1 & 1 \\
0 & -4 & -2
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\xi}_{1}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
-2
\end{array}\right) .
$$
（I）求满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_{2}=\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\xi}_{3}=\boldsymbol{\xi}_{1}$ 的所有向量 $\boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$ ；
（ II ）对（ I ）中的任意向量 $\boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$ ，证明 $\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$ 线性无关。
💡 答案解析
好的，我们下面逐步完成题意分析和推理，给出这道考研数学题的完整解答。以下为解答全部用LaTeX书写。
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**解**：
首先，我们给出矩阵及向量的基本数据：
\[ \boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -2 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\xi}_1= \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}. \]
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### （I）第一步：求满足 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}_2 = \boldsymbol{\xi}_1\) 的所有向量 \(\boldsymbol{\xi}_2\)
设未知向量 \(\boldsymbol{\xi}_2 = (x_1,x_2,x_3)^{\mathrm{T}}\)，则方程 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}_2 = \boldsymbol{\xi}_1\)：
\[ \begin{cases} x_1 - x_2 - x_3 = -1,\\ -x_1 + x_2 + x_3 = 1,\\ 0x_1 -4x_2 -2x_3 = -2. \end{cases} \]
观察第一与第二两个方程：第二个方程是第一方程乘以 \(-1\)，故它们等价；实际上只有两个独立方程：
由第一方程： \[ x_1 - x_2 - x_3 = -1 \quad \Rightarrow \quad x_1 = x_2 + x_3 -1. \]
第三方程： \[ -4x_2 - 2x_3 = -2 \quad \Rightarrow \quad 2x_2 + x_3 = 1. \] 所以 \(x_3 = 1 - 2x_2\)，代回第一方程得： \[ x_1 = x_2 + (1-2x_2) -1 = -x_2. \]
因此全部解为： \[ \boldsymbol{\xi}_2 = \begin{pmatrix} - t \\ t \\ 1-2t \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}. \]
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### 第二步：求满足 \(\boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{\xi}_3 = \boldsymbol{\xi}_1\) 的所有向量 \(\boldsymbol{\xi}_3\)
先计算 \(\boldsymbol{A}^2\)：
\[ \boldsymbol{A}^2= \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -2 \end{pmatrix} = \] 计算第一行第一列：\(1\cdot1 + (-1)(-1)+(-1)\cdot0 = 1+1+0=2\)。 第一行第二列：\(1(-1)+(-1)\cdot1+(-1)(-4) = -1-1+4=2\)。 第一行第三列：\(1(-1)+(-1)\cdot1+(-1)(-2)=-1-1+2=0\)。 第二行第一列：\((-1)\cdot1+1\cdot(-1)+1\cdot0 = -1-1=-2\)。 第二行第二列：\((-1)(-1)+1\cdot1+1(-4)=1+1-4=-2\)。 第二行第三列：\((-1)(-1)+1\cdot1+1(-2)=1+1-2=0\)。 第三行第一列：\(0\cdot1+(-4)(-1)+(-2)0=4\)。 第三行第二列：\(0(-1)+(-4)\cdot1+(-2)(-4)=0-4+8=4\)。 第三行第三列：\(0(-1)+(-4)\cdot1+(-2)(-2)=0-4+4=0\)。
所以： \[ \boldsymbol{A}^2= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0\\ -2 & -2 & 0\\ 4 & 4 & 0 \end{pmatrix}. \]
方程 \(\boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{\xi}_3 = \boldsymbol{\xi}_1\)，设 \(\boldsymbol{\xi}_3=(y_1,y_2,y_3)^{\mathrm{T}}\)，则有： \[ \begin{cases} 2y_1+2y_2 = -1,\\ -2y_1-2y_2 = 1,\\ 4y_1+4y_2 = -2. \end{cases} \] 显然三个方程实际等价（都是\(2y_1+2y_2=-1\)），而 \(y_3\) 自由。于是： \[ y_1+y_2 = -\frac12. \] 可取 \(y_1 = s\)，则 \(y_2 = -\frac12 - s\)，\(y_3\) 任意，记作 \(r\)。
所以全部解为： \[ \boldsymbol{\xi}_3= \begin{pmatrix} s \\ -\frac12 - s \\ r \end{pmatrix}, \quad s,r\in\mathbb{R}. \]
因此第一问答案： \[ \boxed{\boldsymbol{\xi}_2=\begin{pmatrix} -t \\ t \\ 1-2t \end{pmatrix},\quad \boldsymbol{\xi}_3=\begin{pmatrix} s \\ -\frac12-s \\ r \end{pmatrix},\quad t,s,r\in\mathbb{R}} \]
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### （II）证明 \(\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \boldsymbol{\xi}_3\) 线性无关
由题意，对任意选取的 \(t,s,r\)（即任意的 \(\boldsymbol{\xi}_2,\boldsymbol{\xi}_3\) 属于上述解集），需证明向量组线性无关。 我们可以通过定义法：设 \[ k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2 + k_3\boldsymbol{\xi}_3 = \mathbf{0}, \] 需要证明系数全为零。
分别写出： \[ \boldsymbol{\xi}_1 = \begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\xi}_2 = \begin{pmatrix}-t\t\\1-2t\end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\xi}_3 = \begin{pmatrix}s\\ -\frac12-s\\ r\end{pmatrix}. \]
代入得方程组： \[ \begin{cases} - k_1 - t k_2 + s k_3 = 0, \\ k_1 + t k_2 + \left(-\frac12 - s\right)k_3 = 0,\\ -2 k_1 + (1-2t)k_2 + r k_3 = 0. \end{cases} \]
第一、二式相加： \[ (-k_1 - t k_2 + s k_3) + (k_1 + t k_2 - \frac12 k_3 - s k_3) = -\frac12 k_3 = 0, \] 于是 \(k_3 = 0\)。
代入第一式：\(-k_1 - t k_2 = 0\), 代入第二式：\(k_1 + t k_2 = 0\)。 这两式一致，得 \(k_1 = -t k_2\)。
代入第三式（已用\(k_3=0\)）： \[ -2 k_1 + (1-2t)k_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad -2(-t k_2) + (1-2t)k_2 = (2t+1-2t)k_2 = k_2=0. \] 故 \(k_2=0\)，进而 \(k_1=0\)。
因此只有零解，故对任意参数，\(\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\boldsymbol{\xi}_3\) 线性无关。证毕。
\[ \boxed{\text{线性无关}} \]
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这样，我们就完成了题目的全部解答。