2010年考研数学二第14题

本步骤的目标是将原表达式 $|(AB+E)B^{-1}|$ 利用行列式的乘法性质进行拆分。行列式的乘法性质指出：对于两个同阶方阵 $M$ 和 $N$，有 $|MN| = |M| \cdot |N|$。 因此，将 $(AB+E)B^{-1}$ 视为两个矩阵的乘积，即 $M = AB+E$，$N = B^{-1}$，则 $$ |(AB+E)B^{-1}| = |AB+E| \cdot |B^{-1}|. $$ 接下来，利用逆矩阵的行列式性质：若 $B$ 可逆，则 $|B^{-1}| = \frac{1}{|B|}$。代入上式得 $$ |(AB+E)B^{-1}| = |AB+E| \cdot \frac{1}{|B|} = \frac{|AB+E|}{|B|}. $$ 至此，原行列式被拆分为两个行列式的商，为后续步骤进一步化简 $|AB+E|$ 奠定了基础。注意，这里要求 $B$ 可逆，否则 $B^{-1}$ 不存在，行列式无意义。题目中隐含 $B$ 可逆的条件。

本步骤的目标是将已知条件 $|A^{-1}+B|$ 变形为便于与目标表达式 $|A+B^{-1}|$ 建立联系的形式。首先，提取公因子 $A^{-1}$，因为矩阵乘法满足左乘分配律，但注意 $A^{-1}+B$ 不能直接提取公因子，需要借助单位矩阵 $E$ 进行恒等变形： $$A^{-1}+B = A^{-1}E + A^{-1}AB = A^{-1}(E+AB).$$ 这里利用了 $B = A^{-1}AB$，因为 $A^{-1}A = E$，所以 $A^{-1}AB = EB = B$。因此有 $$|A^{-1}+B| = |A^{-1}(E+AB)|.$$ 根据行列式的乘法性质 $|AB| = |A|\cdot|B|$，可得 $$|A^{-1}(E+AB)| = |A^{-1}|\cdot|E+AB|.$$ 又因为 $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$（前提是 $A$ 可逆，$|A| \neq 0$），所以 $$|A^{-1}+B| = \frac{|E+AB|}{|A|}.$$ 至此，我们成功将原式 $|A^{-1}+B|$ 变形为 $\frac{|E+AB|}{|A|}$。类似地，对于目标表达式 $|A+B^{-1}|$，可以提取公因子 $B^{-1}$ 得到 $|B^{-1}(E+BA)|$，进而化为 $\frac{|E+BA|}{|B|}$。注意到 $|E+AB| = |E+BA|$（因为 $AB$ 与 $BA$ 有相同的非零特征值，且 $E+AB$ 与 $E+BA$ 的行列式相等），因此两个变形后的表达式分母分别为 $|A|$ 和 $|B|$，分子相同，这为后续建立等式提供了关键桥梁。