函数 $f(x)=\displaystyle\frac{x^{2}-x}{x^{2}-1} \sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^{2}}}$ 的无穷间断点的个数为
设 $y_{1}, y_{2}$ 是一阶线性非齐次微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$ 使 $\lambda y_{1}+\mu y_{2}$是该方程的解，$\lambda y_{1}-\mu y_{2}$ 是该方程对应的齐次方程的解，则
设 $m, n$ 均是正整数，则反常积分 $\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{\sqrt[m]{\ln ^{2}(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} \mathrm{~d} x$ 的收敛性
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $F\left(\displaystyle\frac{y}{x}, \displaystyle\frac{z}{x}\right)=0$ 确定，其中 $F$ 为可微函数，且 $F_{2}^{\prime} \neq 0$ ，则 $x \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}+y \displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=$
$\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{n} \displaystyle\frac{n}{(n+i)\left(n^{2}+j^{2}\right)}=$
设向量组 I： $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}$ 可由向量组 II： $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}$ 线性表示。下列命题正确的是
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶实对称矩阵，则 $\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 。若 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 3 ，则 $\boldsymbol{A}$ 相似于
3 阶常系数线性齐次微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$ 的通解为 $y=$ $\_\_\_\_$ ．
当 $0 \leqslant \theta \leqslant \pi$ 时，对数螺线 $r=\mathrm{e}^{\theta}$ 的弧长为 $\_\_\_\_$ ．
已知一个长方形的长 $l$ 以 $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速率增加，宽 $w$ 以 $3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速率增加，则当 $l=12 \mathrm{~cm}, w=$ 5 cm 时，它的对角线增加的速率为 $\_\_\_\_$ ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为3阶矩阵，且 $|\boldsymbol{A}|=3,|\boldsymbol{B}|=2,\left|\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}\right|=2$ ，则 $\left|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}^{-1}\right|=$
求函数 $f(x)=\displaystyle\int_{1}^{x^{2}}\left(x^{2}-t\right) \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ 的单调区间与极值．
（ I ）比较 $\displaystyle\int_{0}^{1}|\ln t|[\ln (1+t)]^{n} \mathrm{~d} t$ 与 $\displaystyle\int_{0}^{1} t^{n}|\ln t| \mathrm{d} t(n=1,2, \cdots)$ 的大小，说明理由； （II）记 $u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}|\ln t|[\ln (1+t)]^{n} \mathrm{~d} t(n=1,2, \cdots)$ ，求极限 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}$ ．
设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=2 t+t^{2}, \\ y=\psi(t)\end{array},(t\gt-1)\right.$ 所确定，其中 $\psi(t)$ 具有 2 阶导数，且 $\psi(1)=\displaystyle\frac{5}{2}, \psi^{\prime}(1)=6$ ，已知 $\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=\displaystyle\frac{3}{4(1+t)}$ ，求函数 $\psi(t)$ ．
一个高为 $l$ 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 $2 a$ ，短轴为 $2 b$ 的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 $\displaystyle\frac{3}{2} b$ 时（如图），计算油的质量．（长度单位为 m ，质量单位为 kg ，油的密度为常量 $\rho$ ，单位为 $\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}$ ）。
设函数 $u=f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且满足等式 $4 \displaystyle\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+12 \displaystyle\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+5 \displaystyle\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ 。确定 $a, b$的值，使等式在变换 $\xi=x+a y, \eta=x+b y$ 下简化为 $\displaystyle\frac{\partial^{2} u}{\partial \xi \partial \eta}=0$ ．
（20）（本题满分 10 分） 计算二重积分 $I=\iint_D r^2 \sin \theta \sqrt{1-r^2 \cos 2 \theta} \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta$ ，其中 $D=\{(r, \theta) \mid 0 \leqslant r \leqslant \sec \theta$ ， $\left.0 \leqslant \theta \leqslant \displaystyle\frac{\pi}{4}\right\}$.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0, f(1)=\displaystyle\frac{1}{3}$ ． 证明：存在 $\xi \in\left(0, \displaystyle\frac{1}{2}\right), \eta \in\left(\displaystyle\frac{1}{2}, 1\right)$ ，使得：$f^{\prime}(\xi)+f^{\prime}(\eta)=\xi^{2}+\eta^{2}$ ．
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ ．已知线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 存在两个不同的解． （I）求 $\lambda, a$ ； （II）求方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的通解。
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & a \\ 4 & a & 0\end{array}\right)$ ，正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 使 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$ 为对角矩阵，若 $\boldsymbol{Q}$ 的第 1 列为 $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)^{\mathrm{T}}$ ，求 $a, Q$ ．