2010年考研数学二第7题

本题涉及向量组的线性表示与秩的关系。首先回顾一个基本定理：若向量组 $\boldsymbol{I}: \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$ 可由向量组 $\boldsymbol{II}: \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_s$ 线性表示，则向量组 $\boldsymbol{I}$ 的秩不超过向量组 $\boldsymbol{II}$ 的秩，即 $\operatorname{rank}(\boldsymbol{I}) \leq \operatorname{rank}(\boldsymbol{II})$。这个结论的直观解释是：如果一个向量组中的每个向量都能被另一个向量组线性表出，那么前者的“独立程度”（即秩）不可能超过后者的“独立程度”。 进一步，向量组 $\boldsymbol{II}$ 最多有 $s$ 个向量，因此它的秩不可能超过向量的个数，即 $\operatorname{rank}(\boldsymbol{II}) \leq s$。综合这两个不等式，我们得到： $$ \operatorname{rank}(\boldsymbol{I}) \leq \operatorname{rank}(\boldsymbol{II}) \leq s. $$ 这个基本定理是解决向量组线性表示问题的核心工具。在后续步骤中，我们将利用这个不等式来推导题目中向量组 $\boldsymbol{I}$ 的秩与 $s$ 的关系，并结合其他条件（如 $\boldsymbol{I}$ 线性无关）得出最终结论。 另外，还需注意一个相关结论：若向量组 $\boldsymbol{I}$ 可由 $\boldsymbol{II}$ 线性表示，且 $\boldsymbol{I}$ 线性无关，则 $r \leq s$。这是因为线性无关的向量组 $\boldsymbol{I}$ 的秩等于其向量个数 $r$，而 $\operatorname{rank}(\boldsymbol{I}) = r \leq \operatorname{rank}(\boldsymbol{II}) \leq s$，从而 $r \leq s$。这个推论在本题中可能直接用到。

选项A：若向量组I线性无关，则$r \leq s$。 已知向量组I由$r$个向量组成，向量组II由$s$个向量组成，且向量组I可由向量组II线性表示。 设向量组I的秩为$R(I)$，向量组II的秩为$R(II)$。 由于向量组I线性无关，故$R(I) = r$。 根据向量组线性表示的性质：若一个向量组可由另一个向量组线性表示，则前者的秩不超过后者的秩，即$R(I) \leq R(II)$。 又因为向量组II的秩不超过其向量的个数，即$R(II) \leq s$。 因此，$r = R(I) \leq R(II) \leq s$，即$r \leq s$成立。 所以选项A正确。

选项B：若向量组I线性相关，则必有$r>s$。 分析：向量组I由$r$个$s$维向量组成，其秩记为$R(I)$。若I线性相关，则$R(I)s$。实际上，$r$与$s$的大小关系有多种可能。 构造反例：取$r=1$，$s=2$，即向量组I只含一个2维向量。若该向量为零向量，则I线性相关，此时$r=1$，$s=2$，满足$r\leq s$，与$r>s$矛盾。因此选项B错误。 更一般地，线性相关只说明向量组内部存在非平凡的线性组合等于零向量，并不涉及向量个数与维数的大小比较。例如，当$r=2$，$s=3$时，两个3维向量也可能线性相关（如一个向量是另一个的倍数），此时$r=2s$不成立。 因此，选项B的结论“必有$r>s$”是错误的。

选项C的表述为：若向量组II线性无关，则必有$r \leq s$。我们需要判断这一结论是否一定成立。 已知向量组I可由向量组II线性表示，且向量组II线性无关。设向量组I含有$r$个向量，向量组II含有$s$个向量。由于II线性无关，其秩为$s$。向量组I的秩记为$R(I)$，根据线性表示的性质，有$R(I) \leq R(II) = s$。但注意，$r$是向量组I中向量的个数，而秩$R(I)$是向量组I中极大无关组所含向量的个数，一般有$R(I) \leq r$。因此，由$R(I) \leq s$并不能推出$r \leq s$，因为$r$可能大于$R(I)$，从而可能大于$s$。 为了更清晰地说明，我们构造一个反例。取向量组II为$\mathbb{R}^2$中的两个线性无关向量，例如$\alpha_1 = (1,0)^T$，$\alpha_2 = (0,1)^T$，则$s=2$，且II线性无关。取向量组I为$\mathbb{R}^2$中的三个向量：$\beta_1 = (1,0)^T$，$\beta_2 = (2,0)^T$，$\beta_3 = (0,1)^T$，则$r=3$。显然，每个$\beta_i$都可以由$\alpha_1,\alpha_2$线性表示（例如$\beta_1 = 1\cdot\alpha_1 + 0\cdot\alpha_2$，$\beta_2 = 2\cdot\alpha_1 + 0\cdot\alpha_2$，$\beta_3 = 0\cdot\alpha_1 + 1\cdot\alpha_2$），但$r=3 > s=2$。因此，选项C的结论“必有$r \leq s$”不成立，C错误。 综上，选项C为错误选项。

选项D的表述为：“若向量组II线性相关，则$r > s$”。我们需要判断该命题是否正确。 已知向量组I的秩为$r$，向量组II的秩为$s$，且I可由II线性表示。根据线性表示与秩的关系，有$\text{秩}(I) \leq \text{秩}(II)$，即$r \leq s$。 现在假设向量组II线性相关，则其秩$\text{秩}(II) < s$（因为II有$s$个向量，线性相关意味着秩小于向量个数）。结合$r \leq \text{秩}(II)$，可得$r \leq \text{秩}(II) < s$，即$r < s$。因此，在II线性相关的条件下，我们只能推出$r < s$，而无法推出$r > s$。实际上，$r > s$与$r \leq s$矛盾，故D错误。 为了更直观地理解，我们举一个反例：取$r=1$，$s=2$。设向量组I只有一个非零向量$\alpha_1$，向量组II由两个线性相关的向量$\beta_1, \beta_2$组成（例如$\beta_1 = (1,0)^T$，$\beta_2 = (2,0)^T$），且$\alpha_1$可由$\beta_1, \beta_2$线性表示（例如$\alpha_1 = \beta_1$）。此时，I的秩$r=1$，II的秩$s=2$但II线性相关（秩为1），满足$r=1 \leq s=2$，但$r > s$不成立。因此，D选项错误。 综上，选项D不正确。