2010年考研数学二第6题

首先，我们处理原和式： $$ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{n}{(n+i)(n^2+j^2)}. $$ **第一步：将分母中的 $(n+i)$ 和 $(n^2+j^2)$ 分别提取因子 $n$ 和 $n^2$。** 对于分母的第一部分 $(n+i)$，提取公因子 $n$： $$ n+i = n\left(1+\frac{i}{n}\right). $$ 对于分母的第二部分 $(n^2+j^2)$，提取公因子 $n^2$： $$ n^2+j^2 = n^2\left(1+\frac{j^2}{n^2}\right) = n^2\left(1+\left(\frac{j}{n}\right)^2\right). $$ **第二步：将提取后的表达式代入原和式。** 原和式变为： $$ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{n}{n\left(1+\frac{i}{n}\right) \cdot n^2\left(1+\left(\frac{j}{n}\right)^2\right)}. $$ **第三步：合并分母中的 $n$ 的幂次。** 分母中 $n$ 的乘积为 $n \cdot n^2 = n^3$，分子为 $n$，因此整体可化简为： $$ \frac{n}{n^3} \cdot \frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)\left(1+\left(\frac{j}{n}\right)^2\right)} = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)\left(1+\left(\frac{j}{n}\right)^2\right)}. $$ **第四步：将常数因子 $\frac{1}{n^2}$ 提到求和号外面。** 由于 $\frac{1}{n^2}$ 与求和指标 $i,j$ 无关，可以提到双重求和之前： $$ \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)\left(1+\left(\frac{j}{n}\right)^2\right)}. $$ 至此，原和式已化简为所需形式。

根据二重积分的定义，当$n\to\infty$时，黎曼和的极限等于被积函数在积分区域上的二重积分。本题中，黎曼和的形式为： $$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{(1+\frac{i}{n})(1+(\frac{j}{n})^2)}. $$ 观察可知，该和式对应于将正方形区域$[0,1]\times[0,1]$均匀分割成$n\times n$个小正方形，每个小正方形的边长为$\frac{1}{n}$，面积为$\frac{1}{n^2}$。取每个小正方形的右上角点$(\frac{i}{n},\frac{j}{n})$作为采样点，则函数值为$f(\frac{i}{n},\frac{j}{n})=\frac{1}{(1+\frac{i}{n})(1+(\frac{j}{n})^2)}$。因此，该和式正是函数$f(x,y)=\frac{1}{(1+x)(1+y^2)}$在区域$[0,1]\times[0,1]$上的黎曼和。 由二重积分的定义，当分割无限细（即$n\to\infty$）时，黎曼和的极限等于函数在该区域上的二重积分： $$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{(1+\frac{i}{n})(1+(\frac{j}{n})^2)} = \iint_{[0,1]\times[0,1]} \frac{1}{(1+x)(1+y^2)} \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y. $$ 由于被积函数可分离变量，即$f(x,y)=\frac{1}{1+x}\cdot\frac{1}{1+y^2}$，且积分区域为矩形，因此二重积分可化为两个定积分的乘积： $$ \iint_{[0,1]\times[0,1]} \frac{1}{(1+x)(1+y^2)} \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \left(\int_0^1 \frac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x\right) \cdot \left(\int_0^1 \frac{1}{1+y^2}\,\mathrm{d}y\right). $$ 至此，我们将原极限问题转化为两个一元定积分的计算，为下一步求解做好了准备。

根据前几步的分析，我们已经将积分区域和积分函数分离。原二重积分 $\iint_D \frac{1}{(1+x)(1+y^2)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 的积分区域 $D$ 是由 $x$ 从 $0$ 到 $1$，$y$ 从 $0$ 到 $1$ 的正方形区域。由于被积函数可以写成 $\frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{1+y^2}$，且积分区域是矩形，因此二重积分可以化为累次积分： $$ \iint_D \frac{1}{(1+x)(1+y^2)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^1 \mathrm{d}x \int_0^1 \frac{1}{(1+x)(1+y^2)} \mathrm{d}y. $$ 由于 $\frac{1}{1+x}$ 与 $y$ 无关，可以先对 $y$ 积分： $$ \int_0^1 \frac{1}{(1+x)(1+y^2)} \mathrm{d}y = \frac{1}{1+x} \int_0^1 \frac{1}{1+y^2} \mathrm{d}y. $$ 而 $\int_0^1 \frac{1}{1+y^2} \mathrm{d}y = \arctan y \big|_0^1 = \frac{\pi}{4}$。因此原积分化为： $$ \int_0^1 \frac{1}{1+x} \cdot \frac{\pi}{4} \mathrm{d}x = \frac{\pi}{4} \int_0^1 \frac{1}{1+x} \mathrm{d}x = \frac{\pi}{4} \ln(1+x) \big|_0^1 = \frac{\pi}{4} \ln 2. $$ 最终结果为 $\frac{\pi}{4} \ln 2$。对比选项，该结果与选项（D）一致。因此本题选择（D）。