2010年考研数学二第8题
📝 题目
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶实对称矩阵，则 $\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 。若 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 3 ，则 $\boldsymbol{A}$ 相似于
A
$\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$ ．
B
$\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$ ．
C
$\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$ ．
D
$\left(\begin{array}{llll}-1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{arr \right.$\right)
💡 答案解析
**答案**: （D）．
---
**解析**:
令 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\lambda \boldsymbol{X}(\boldsymbol{X} \neq \mathbf{0})$ ， 由 $\left(\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}\right) \boldsymbol{X}=\left(\lambda^{2}+\lambda\right) \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 且 $\boldsymbol{X} \neq \mathbf{0}$ 得 $\lambda^{2}+\lambda=0$ ，于是 $\lambda=0$ 或 $\lambda=-1$ 。 因为 $\boldsymbol{A}$ 可对角化且 $r(\boldsymbol{A})=3$ ，所以 $\lambda=-1$ 为三重特征值，故 $\boldsymbol{A} \sim\left(\begin{array}{llll}-1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$ ， 应选（D）．
## 二、填空题
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：推导特征值满足的条件
设矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda$，对应的特征向量为 $X$（$X \neq 0$），则有 $A X = \lambda X$。
已知条件为 $A^2 + A = O$，其中 $O$ 为零矩阵。将特征关系代入该矩阵方程：
首先计算 $A^2 X$：
$$A^2 X = A(A X) = A(\lambda X) = \lambda (A X) = \lambda (\lambda X) = \lambda^2 X.$$
于是，
$$(A^2 + A)X = A^2 X + A X = \lambda^2 X + \lambda X = (\lambda^2 + \lambda) X.$$
由于 $A^2 + A = O$，故对任意向量 $X$ 有 $(A^2 + A)X = 0$。特别地，对特征向量 $X$ 有：
$$(\lambda^2 + \lambda) X = 0.$$
因为特征向量 $X \neq 0$，所以系数必须为零：
$$\lambda^2 + \lambda = 0.$$
分解因式得：
$$\lambda(\lambda + 1) = 0.$$
解得 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = -1$。
因此，矩阵 $A$ 的特征值只能取 $0$ 或 $-1$。
公式：$$\lambda^2 + \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 0 \text{ 或 } \lambda = -1$$
提示：利用特征向量的定义将矩阵方程转化为特征值的代数方程，是处理此类问题的标准方法。
步骤 2/3
目标：确定特征值的重数
已知 $A$ 是 $4$ 阶实对称矩阵，因此 $A$ 必可相似对角化。题目给出 $\operatorname{rank}(A)=3$。对于可对角化的矩阵，代数重数等于几何重数。零特征值的几何重数等于齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解空间维数，即 $\dim\ker A = 4 - \operatorname{rank}(A) = 4-3=1$。因此零特征值的几何重数为 $1$，从而代数重数也为 $1$，即 $0$ 是 $A$ 的单重特征值。
由于 $A$ 是 $4$ 阶矩阵，共有 $4$ 个特征值（计入重数）。已知其中一个特征值为 $0$（单重），且题目条件（或前一步结论）指出其余特征值均为 $-1$，故 $-1$ 的代数重数为 $4-1=3$。又因为 $A$ 可对角化，$-1$ 的几何重数也等于 $3$。
综上，特征值的重数分布为：特征值 $0$ 的重数为 $1$，特征值 $-1$ 的重数为 $3$。
公式：\dim\ker A = n - \operatorname{rank}(A) = 4 - 3 = 1
提示：利用秩确定零空间维数，结合可对角化得到特征值重数。
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