2010年考研数学二第9题

上一步已得到特征方程 $\lambda^3 - 2\lambda^2 + \lambda - 2 = 0$。首先尝试提取公因式，观察各项系数，发现可以分组因式分解：将方程写为 $(\lambda^3 - 2\lambda^2) + (\lambda - 2) = 0$。第一组提取 $\lambda^2$ 得 $\lambda^2(\lambda - 2)$，第二组不变，于是原方程化为 $\lambda^2(\lambda - 2) + (\lambda - 2) = 0$。再提取公因式 $(\lambda - 2)$，得到 $(\lambda - 2)(\lambda^2 + 1) = 0$。 令每个因式等于零： 1. $\lambda - 2 = 0$，解得 $\lambda_1 = 2$； 2. $\lambda^2 + 1 = 0$，即 $\lambda^2 = -1$，解得 $\lambda_{2,3} = \pm i$，即 $\lambda_2 = i$，$\lambda_3 = -i$。 因此，特征根为 $\lambda_1 = 2$，$\lambda_2 = i$，$\lambda_3 = -i$。

由前一步骤已求得特征方程 $r^3 - 2r^2 + r - 2 = 0$ 的特征根为：单实根 $r_1 = 2$，以及一对共轭复根 $r_{2,3} = \pm i$（即 $0 \pm i$）。 对于单实根 $\lambda = 2$，根据常系数线性微分方程解的结构，其对应的特解形式为 $C_1 e^{2x}$，其中 $C_1$ 为任意常数。 对于一对共轭复根 $\lambda = \pm i$（实部 $\alpha = 0$，虚部 $\beta = 1$），其对应的两个线性无关的特解为 $e^{\alpha x} \cos(\beta x) = e^{0 \cdot x} \cos x = \cos x$ 和 $e^{\alpha x} \sin(\beta x) = e^{0 \cdot x} \sin x = \sin x$。因此，这对共轭复根对应的通解部分为 $C_2 \cos x + C_3 \sin x$，其中 $C_2, C_3$ 为任意常数。 根据线性微分方程解的叠加原理，原三阶微分方程的通解为上述两部分之和： $$ y = C_1 e^{2x} + C_2 \cos x + C_3 \sin x $$ 其中 $C_1, C_2, C_3$ 为任意常数。 注意：由于特征根互异，每个根对应的特解线性无关，因此通解形式即为各特解的线性组合，无需再乘以 $x$ 的幂次。

在前三步中，我们已经分别求出了齐次线性微分方程的三个线性无关的特解：$y_1 = e^{2x}$（对应特征根 $r_1=2$），$y_2 = \cos x$ 和 $y_3 = \sin x$（对应一对共轭复根 $r_{2,3} = \pm i$）。根据齐次线性微分方程解的结构定理，其通解等于这些线性无关特解的任意线性组合。因此，将三个特解分别乘以任意常数 $C_1, C_2, C_3$ 后相加，即得到通解： $$ y = C_1 e^{2x} + C_2 \cos x + C_3 \sin x $$ 其中 $C_1, C_2, C_3$ 为任意常数。 **验证**： - 对 $y_1 = e^{2x}$，求导得 $y_1' = 2e^{2x}$，$y_1'' = 4e^{2x}$，代入原方程 $y''' - 2y'' + y' - 2y = 0$ 的左端：$8e^{2x} - 2\cdot4e^{2x} + 2e^{2x} - 2e^{2x} = 8e^{2x} - 8e^{2x} + 2e^{2x} - 2e^{2x} = 0$，满足。 - 对 $y_2 = \cos x$，$y_2' = -\sin x$，$y_2'' = -\cos x$，$y_2''' = \sin x$，代入左端：$\sin x - 2(-\cos x) + (-\sin x) - 2\cos x = \sin x + 2\cos x - \sin x - 2\cos x = 0$，满足。 - 对 $y_3 = \sin x$，$y_3' = \cos x$，$y_3'' = -\sin x$，$y_3''' = -\cos x$，代入左端：$-\cos x - 2(-\sin x) + \cos x - 2\sin x = -\cos x + 2\sin x + \cos x - 2\sin x = 0$，满足。 由于三个特解线性无关（朗斯基行列式非零），且微分方程为三阶，因此通解中恰好包含三个任意常数。该通解涵盖了方程的所有解。