2010年考研数学二第16题

首先，我们需要在区间 $[0,1]$ 上比较被积函数中的因子大小。考虑函数 $f(t) = \ln(1+t) - t$，其中 $t \in [0,1]$。求导得 $f'(t) = \frac{1}{1+t} - 1 = \frac{-t}{1+t} \leq 0$，因此 $f(t)$ 在 $[0,1]$ 上单调递减。又 $f(0) = 0$，所以对于任意 $t \in [0,1]$，有 $f(t) \leq 0$，即 $\ln(1+t) \leq t$。 由于 $t \in [0,1]$，$\ln(1+t) \geq 0$，且 $t \geq 0$，因此不等式两边均为非负。将不等式两边同时取 $n$ 次方（$n$ 为正整数），得到 $[\ln(1+t)]^n \leq t^n$。 被积函数为 $|\ln t| \cdot [\ln(1+t)]^n$，其中 $t \in (0,1]$ 时 $\ln t \leq 0$，故 $|\ln t| = -\ln t$。利用上述不等式，有 $$|\ln t| \cdot [\ln(1+t)]^n \leq |\ln t| \cdot t^n = t^n |\ln t|.$$ 因此，在区间 $(0,1]$ 上，被积函数 $|\ln t|[\ln(1+t)]^n$ 被 $t^n |\ln t|$ 控制。

首先，回顾题目中给出的被积函数不等式：当 $t \in [0,1]$ 时，有 $\ln(1+t) \leq t$。这个不等式是本题放缩的基础。 我们需要证明的积分不等式为： $$\int_0^1 |\ln t| \,[\ln(1+t)]^n \, dt \leq \int_0^1 t^n |\ln t| \, dt.$$ 推导过程如下： 由于 $t \in (0,1]$ 时，$\ln(1+t) \leq t$，且 $\ln(1+t) \geq 0$（因为 $1+t \geq 1$），所以对任意正整数 $n$，有 $[\ln(1+t)]^n \leq t^n$。 同时，$|\ln t| \geq 0$ 在 $(0,1]$ 上成立。因此，被积函数满足： $$|\ln t| \,[\ln(1+t)]^n \leq |\ln t| \, t^n.$$ 对上述不等式在区间 $[0,1]$ 上积分（注意 $t=0$ 处为瑕点，但积分收敛），由积分的保序性（若 $f(x) \leq g(x)$ 在区间上几乎处处成立，则 $\int f \leq \int g$），立即得到： $$\int_0^1 |\ln t| \,[\ln(1+t)]^n \, dt \leq \int_0^1 t^n |\ln t| \, dt.$$ 这样就完成了从被积函数不等式到积分不等式的放缩。

由于被积函数 $f_n(t) = t^n |\ln t|$ 在区间 $(0,1]$ 上非负（当 $t \in (0,1]$ 时，$t^n > 0$，$|\ln t| \geq 0$，且 $t=0$ 处为可去奇点，积分收敛），因此积分 $u_n = \int_0^1 t^n |\ln t| \, dt$ 显然满足 $u_n \geq 0$。 另一方面，为了得到上界估计，我们注意到在区间 $(0,1]$ 上，$|\ln t|$ 可以放大。由于 $\ln t \leq 0$，故 $|\ln t| = -\ln t$。考虑函数 $\varphi(t) = -\ln t$ 在 $(0,1]$ 上的最大值？实际上 $\lim_{t \to 0^+} (-\ln t) = +\infty$，因此不能直接取最大值。但我们可以利用一个常见的不等式：对于 $t \in (0,1]$，有 $|\ln t| \leq \frac{1}{t}$？不，这并不成立（例如 $t=0.1$ 时，$|\ln 0.1| \approx 2.3026$，而 $1/t=10$，确实成立，但放缩太粗糙）。更精确的放缩是：对于任意 $\varepsilon > 0$，存在常数 $C_\varepsilon$ 使得 $|\ln t| \leq C_\varepsilon t^{-\varepsilon}$。但这里我们采用一个更直接的夹逼思路： 由被积函数非负，直接得到下界 $0 \leq u_n$。 对于上界，我们考虑将 $|\ln t|$ 替换为某个在 $[0,1]$ 上可积且与 $t^n$ 乘积易于积分的函数。注意到 $\lim_{t \to 0^+} t^\alpha |\ln t| = 0$ 对任意 $\alpha > 0$ 成立，因此 $|\ln t|$ 的增长速度慢于任何负幂次。一个经典技巧是：对于 $t \in (0,1]$，有 $|\ln t| \leq \frac{1}{t}$？实际上，考虑函数 $g(t) = t|\ln t|$，它在 $t \in (0,1]$ 上有最大值 $1/e$（在 $t=1/e$ 处取得），因此 $|\ln t| \leq \frac{1}{e t}$。但更常用的放缩是：$|\ln t| \leq \frac{1}{t}$ 对于 $t \in (0,1]$ 成立吗？检验：令 $h(t) = t|\ln t|$，$h(1)=0$，$h(0^+)=0$，最大值约为 $0.3679$，所以 $t|\ln t| \leq 1/e < 1$，从而 $|\ln t| \leq 1/t$ 确实成立。 因此，我们有 $0 \leq u_n = \int_0^1 t^n |\ln t| \, dt \leq \int_0^1 t^n \cdot \frac{1}{t} \, dt = \int_0^1 t^{n-1} \, dt = \frac{1}{n}$。 于是得到夹逼不等式： $$0 \leq u_n \leq \frac{1}{n}.$$ 由夹逼定理，当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$，故 $u_n \to 0$。 注意：这里我们实际上已经得到了 $u_n$ 的一个上界，但步骤目标要求建立 $0 \leq u_n \leq \int_0^1 t^n |\ln t| \, dt$ 这种形式？题目给出的步骤概要为“由被积函数非负，得到 $0 \leq u_n \leq \int_0^1 t^n |\ln t| \, dt$”，这似乎是一个恒等式（右边就是 $u_n$ 本身），可能是笔误。正确的夹逼应为 $0 \leq u_n \leq \frac{1}{n}$。因此本步骤详细推导了该不等式。

我们需要计算积分 $I = \int_0^1 t^n |\ln t| \, dt$。由于在区间 $(0,1]$ 上 $\ln t \leq 0$，因此 $|\ln t| = -\ln t$，所以积分化为 $$ I = \int_0^1 t^n (-\ln t) \, dt = -\int_0^1 t^n \ln t \, dt. $$ 这是一个含有对数函数的反常积分，在 $t=0$ 处 $\ln t$ 发散，但 $t^n$ 的幂次足够高时积分收敛。我们采用分部积分法。令 $u = \ln t$，$dv = t^n \, dt$，则 $du = \frac{1}{t} \, dt$，$v = \frac{t^{n+1}}{n+1}$。于是 $$ \int_0^1 t^n \ln t \, dt = \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} \ln t \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{t^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{1}{t} \, dt. $$ 计算边界项：当 $t \to 0^+$ 时，$t^{n+1} \ln t \to 0$（因为 $n+1>0$，幂函数比对数趋于0更快）；当 $t=1$ 时，$\ln 1 = 0$，所以边界项整体为0。因此 $$ \int_0^1 t^n \ln t \, dt = -\frac{1}{n+1} \int_0^1 t^n \, dt = -\frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{n+1} = -\frac{1}{(n+1)^2}. $$ 代入原式得 $$ I = -\left( -\frac{1}{(n+1)^2} \right) = \frac{1}{(n+1)^2}. $$ 因此，右侧积分的结果为 $\frac{1}{(n+1)^2}$。

我们已经得到不等式 $0 \leq u_n \leq \frac{1}{(n+1)^2}$。现在应用夹逼准则（迫敛性）来求极限。 夹逼准则指出：如果存在三个数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$、$\{c_n\}$，满足 $a_n \leq b_n \leq c_n$，且 $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = L$，则 $\lim_{n \to \infty} b_n = L$。 在这里，我们令 $a_n = 0$，$b_n = u_n$，$c_n = \frac{1}{(n+1)^2}$。显然有 $0 \leq u_n \leq \frac{1}{(n+1)^2}$。 计算左端数列的极限：$\lim_{n \to \infty} 0 = 0$。 计算右端数列的极限： $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{(n+1)^2} = 0$$ 因为分母 $(n+1)^2 \to +\infty$，所以分式趋于 $0$。 由于左右两端数列的极限都等于 $0$，根据夹逼准则，中间数列 $\{u_n\}$ 的极限也等于 $0$。 因此，我们得到最终结果： $$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$$ 验证：该结果与之前各步的推导一致，且符合直观——$u_n$ 被夹在两个趋于零的量之间，故其极限必为零。至此，问题求解完成。