2011年考研数学二第11题

已知曲线由变上限积分方程 $y = \int_{0}^{x} \tan t \, dt$ 给出（此处根据题目信息推断，实际题目中曲线方程可能为 $y = \int_{0}^{x} \tan t \, dt$ 或类似形式，但步骤概要已明确导数为 $\tan x$）。根据微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式），对于形如 $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt$ 的变上限积分函数，其导数 $F'(x) = f(x)$。因此，对曲线方程两边关于 $x$ 求导，得到： $$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \int_{0}^{x} \tan t \, dt = \tan x.$$ 这里被积函数 $f(t) = \tan t$ 在 $t=0$ 附近连续，故求导可直接代入上限。注意，若积分下限为常数，则导数仅与上限处的被积函数值有关。因此，曲线在任意点 $x$ 处的切线斜率为 $\tan x$。

在步骤1中，我们已经求出了曲线的导数表达式 $\frac{dy}{dx} = \tan x$。现在需要写出弧微分 $ds$ 的表达式。弧微分是描述曲线上微小弧段长度的微分形式，其一般公式为 $ds = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx$。将已知的导数代入，得到： $$ds = \sqrt{1 + (\tan x)^2} \, dx = \sqrt{1 + \tan^2 x} \, dx.$$ 利用三角恒等式 $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$，且 $\sec x \geq 0$（在积分区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 内 $\sec x > 0$），因此开方后得： $$ds = \sqrt{\sec^2 x} \, dx = \sec x \, dx.$$ 至此，弧微分表达式简化为 $ds = \sec x \, dx$。这个简洁的形式将用于下一步的弧长积分计算。注意，这里 $dx$ 是自变量 $x$ 的微分，$ds$ 是弧长微元，$\sec x$ 是 $x$ 的函数。

根据弧长公式，曲线 $y = \ln(\sec x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的弧长 $s$ 为： $$s = \int_0^{\pi/4} \sqrt{1 + (y')^2} \, dx.$$ 首先计算导数 $y'$。由 $y = \ln(\sec x)$，利用复合函数求导法则： $$y' = \frac{1}{\sec x} \cdot \sec x \tan x = \tan x.$$ 于是 $$(y')^2 = \tan^2 x.$$ 代入弧长公式得： $$s = \int_0^{\pi/4} \sqrt{1 + \tan^2 x} \, dx.$$ 利用三角恒等式 $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$，且当 $x \in [0, \frac{\pi}{4}]$ 时 $\sec x > 0$，故 $\sqrt{\sec^2 x} = \sec x$。因此弧长积分简化为： $$s = \int_0^{\pi/4} \sec x \, dx.$$ 至此，弧长定积分已建立。

本步骤的目标是计算定积分 $s = \int_0^{\pi/4} \sec x \, dx$。首先，我们使用基本积分公式：$\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$。因此，定积分的计算为： $$s = \left[ \ln|\sec x + \tan x| \right]_0^{\pi/4} = \ln(\sec(\pi/4) + \tan(\pi/4)) - \ln(\sec 0 + \tan 0).$$ 计算各点的函数值： - 当 $x = \pi/4$ 时，$\sec(\pi/4) = \frac{1}{\cos(\pi/4)} = \frac{1}{\sqrt{2}/2} = \sqrt{2}$，$\tan(\pi/4) = 1$，所以 $\sec(\pi/4) + \tan(\pi/4) = \sqrt{2} + 1$。 - 当 $x = 0$ 时，$\sec 0 = 1$，$\tan 0 = 0$，所以 $\sec 0 + \tan 0 = 1 + 0 = 1$。 代入得： $$s = \ln(\sqrt{2} + 1) - \ln 1 = \ln(\sqrt{2} + 1) - 0 = \ln(1 + \sqrt{2}).$$ 最终结果为 $s = \ln(1 + \sqrt{2})$。验证：由于 $\ln(1+\sqrt{2}) > 0$，且被积函数 $\sec x$ 在 $[0, \pi/4]$ 上恒正，积分值应为正，结果合理。