已知当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $f(x)=3 \sin x-\sin 3 x$ 与 $c x^{k}$ 是等价无穷小量，则 $(\mathrm{C}) k=3, c=4$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(0)=0$ ，则 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{x^{2} f(x)-2 f\left(x^{3}\right)}{x^{3}}=($
微分方程 $y^{\prime \prime}-\lambda^{2} y=\mathrm{e}^{\lambda x}+\mathrm{e}^{-\lambda x}(\lambda\gt 0)$ 的特解形式为
设函数 $f(x), g(x)$ 均有二阶连续导数，满足 $f(0)\gt 0, g(0)\lt 0$ ，且 $f^{\prime}(0)=g^{\prime}(0)=0$ ，则函数 $z=f(x) g(y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值的一个充分条件是
设 $I=\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}} \ln (\sin x) \mathrm{d} x, J=\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}} \ln (\cot x) \mathrm{d} x, K=\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}} \ln (\cos x) \mathrm{d} x$ ，则 $I, J, K$ 的大小关系为
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第2列加到第1列得矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，再交换 $\boldsymbol{B}$ 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵。记 $\boldsymbol{P}_{1}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{P}_{2}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}=$
设 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right)$ 是4阶矩阵， $\boldsymbol{A}^{*}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵。若（ $\left.1,0,1,0\right)^{\mathrm{T}}$ 是方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系，则 $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系可为
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left(\displaystyle\frac{1+2^{x}}{2}\right)^{\displaystyle\frac{1}{x}}=$ $\_\_\_\_$ ．
曲线 $y=\displaystyle\int_{0}^{x} \tan t \mathrm{~d} t\left(0 \leqslant x \leqslant \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)$ 的弧长 $s=$ $\_\_\_\_$ ．
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\lambda \mathrm{e}^{-\lambda x} & x\gt 0, \\ 0, & x \leqslant 0,\end{array} \lambda\gt 0\right.$ ，则 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
设平面区域 $D$ 由直线 $y=x$ ，圆 $x^{2}+y^{2}=2 y$ 及 $y$ 轴所围成，则二重积分 $\iint_{D} x y \mathrm{~d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．
二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ ，则 $f$ 的正惯性指数为
已知函数 $F(x)=\displaystyle\frac{\displaystyle\int_{0}^{x} \ln \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t}{x^{\alpha}}$ ．设 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} F(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} F(x)=0$ ，试求 $\alpha$ 的取值范围．
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\displaystyle\frac{1}{3} t^{3}+t+\displaystyle\frac{1}{3} \\ y=\displaystyle\frac{1}{3} t^{3}-t+\displaystyle\frac{1}{3}\end{array}\right.$ 确定，求 $y=y(x)$ 的极值和曲线 $y=y(x)$ 的凹凸区间及拐点。
设函数 $z=f(x y, y g(x))$ ，其中函数 $f$ 具有二阶连续偏导数，函数 $g(x)$ 可导且在 $x=1$ 处取得极值 $g(1)=1$ ，求 $\left.\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\right|_{\substack{x=1 \\ y=1}}$ ．
设函数 $y(x)$ 具有二阶导数，且曲线 $l: y=y(x)$ 与直线 $y=x$ 相切于原点．记 $\alpha$ 为曲线 $l$ 在点 $(x, y)$ 处切线的倾角，若 $\displaystyle\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} x}=\displaystyle\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ，求 $y(x)$ 的表达式。
（I）证明：对任意的正整数 $n$ ，都有 $\displaystyle\frac{1}{n+1}\lt\ln \left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)\lt\displaystyle\frac{1}{n}$ 成立； （II）设 $a_{n}=1+\displaystyle\frac{1}{2}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{n}-\ln n(n=1,2, \cdots)$ ，证明数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛。
一容器的内侧是由图中曲线绕 $y$ 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 $x^{2}+y^{2}=2 y\left(y \geqslant \displaystyle\frac{1}{2}\right)$ 与 $x^{2}+y^{2}=1\left(y \leqslant \displaystyle\frac{1}{2}\right)$ 连接而成。
（I）求容器的容积；
（II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？
（长度单位： m ，重力加速度为 $g \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ ，水的密度为 $10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$ ）
已知函数 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $f(1, y)=f(x, 1)=0, \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=a$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，计算二重积分 $I=\iint_{D} x y f_{x y}^{\prime \prime}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,3,5)^{\mathrm{T}}$ 不能由向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}=(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ ， $\boldsymbol{\beta}_{2}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{3}=(3,4, a)^{\mathrm{T}}$ 线性表示。 （I）求 $a$ 的值； （II）将 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 用 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示。
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称矩阵， $\boldsymbol{A}$ 的秩为 2 ，且
$$
\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
0 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right)
$$
（I）求 $\boldsymbol{A}$ 的所有特征值与特征向量；
（II）求矩阵 $\boldsymbol{A}$ ．