💡 答案解析
（I）由 $r(\boldsymbol{A})=2<3$ ，得 $|\boldsymbol{A}|=0$ ，于是 $\lambda_{1}=0$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值．
又由已知条件得 $\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{A}\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ ，根据特征值与特征向量的定义得：
$\lambda_{2}=-1$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，其对应的特征向量为 $\boldsymbol{\xi}_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ ；
$\lambda_{3}=1$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，其对应的特征向量为 $\boldsymbol{\xi}_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ ．
令 $\boldsymbol{\xi}_{1}=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ 为 $\lambda_{1}=0$ 对应的一个特征向量，由实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交得 $\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{\xi}_{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}_{2}=0, \\ \boldsymbol{\xi}_{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}_{3}=0,\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}-x_{3}=0, \\ x_{1}+x_{3}=0,\end{array}\right.$ 基础解系为 $\boldsymbol{\xi}_{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ ，即 $\boldsymbol{\xi}_{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ 为 $\lambda_{1}=0$ 对应的一个特征向量．
故 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1}=0, \lambda_{2}=-1, \lambda_{3}=1$ ，其对应的所有特征向量为 $C_{1} \boldsymbol{\xi}_{1}, C_{2} \boldsymbol{\xi}_{2}, C_{3} \boldsymbol{\xi}_{3}\left(C_{1}\right.$ ， $C_{2}, C_{3}$ 为全不为零的任意常数）．
（II）方法一 令 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right)$ ，由 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，得
$$
\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) \boldsymbol{P}^{-1}=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right) .
$$
方法二 由 $\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}\right)=\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_{3}\right)=\left(\boldsymbol{0},-\boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}\right)$ ，得
$$
\boldsymbol{A}=\left(\mathbf{0},-\boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}\right)\left(\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 1
\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right) .
$$
方法点评：本题注重考查特征值与特征向量的定义，很多考生忽视了定义而不知道本题所给已知条件如何解读．事实上求特征值常用方法有：
（1）公式法，即由 $|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=0$ 求出特征值；
（2）定义法，即令 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\lambda \boldsymbol{X}$ ，根据矩阵的关系式，求出矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值；
（3）关联矩阵法，即找矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}$ ，即 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$ ，从而 $|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}|$ ，于是求出 $\boldsymbol{A}$ 的特征值．
求特征向量的常用方法有：
（1）设 $\lambda_{0}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，则属于 $\lambda_{0}$ 的特征向量为 $\left(\lambda_{0} \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right) \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的非零解；
（2）定义法，满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\lambda_{0} \boldsymbol{X}$ 的非零 $\boldsymbol{X}$ 即为 $\lambda_{0}$ 对应的特征向量；
（3）利用矩阵关系求特征向量，如 $\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{\alpha}=\lambda_{0} \boldsymbol{\alpha}$ ，则 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 $\displaystyle\frac{1}{\lambda_{0}}$ 的特征向量．
📋 详细解题步骤
目标：提取特征向量与特征值
已知矩阵等式 $A\boldsymbol{\alpha}_1 = -\boldsymbol{\alpha}_1$，$A\boldsymbol{\alpha}_2 = \boldsymbol{\alpha}_2$，其中 $\boldsymbol{\alpha}_1 = (1,0,-1)^\mathrm{T}$，$\boldsymbol{\alpha}_2 = (1,0,1)^\mathrm{T}$。
首先，观察第二个方程 $A\boldsymbol{\alpha}_2 = \boldsymbol{\alpha}_2$。根据特征值与特征向量的定义，若存在非零向量 $\boldsymbol{x}$ 和标量 $\lambda$ 使得 $A\boldsymbol{x} = \lambda\boldsymbol{x}$，则 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$\boldsymbol{x}$ 是对应于 $\lambda$ 的特征向量。这里 $\boldsymbol{\alpha}_2$ 是非零向量，且 $A\boldsymbol{\alpha}_2 = 1 \cdot \boldsymbol{\alpha}_2$，因此 $\lambda_2 = 1$ 是 $A$ 的一个特征值，$\boldsymbol{\alpha}_2 = (1,0,1)^\mathrm{T}$ 是对应于特征值 $1$ 的特征向量。
接着，看第一个方程 $A\boldsymbol{\alpha}_1 = -\boldsymbol{\alpha}_1$。同样地，$\boldsymbol{\alpha}_1$ 是非零向量，且 $A\boldsymbol{\alpha}_1 = (-1) \cdot \boldsymbol{\alpha}_1$，因此 $\lambda_1 = -1$ 是 $A$ 的另一个特征值，$\boldsymbol{\alpha}_1 = (1,0,-1)^\mathrm{T}$ 是对应于特征值 $-1$ 的特征向量。
至此，我们直接从题目给出的矩阵等式提取出了两个特征值与对应的特征向量：特征值 $-1$ 对应特征向量 $(1,0,-1)^\mathrm{T}$，特征值 $1$ 对应特征向量 $(1,0,1)^\mathrm{T}$。这两个特征向量线性无关（因为 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 与 $\boldsymbol{\alpha}_2$ 不成比例），为后续步骤中构造可逆矩阵 $P$ 以及对角化 $A$ 奠定了基础。
公式：A\boldsymbol{\alpha}_1 = -\boldsymbol{\alpha}_1,\quad A\boldsymbol{\alpha}_2 = \boldsymbol{\alpha}_2
提示：直接根据 $A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$ 的形式，将等式右边系数读出即为特征值。
目标：确定第三个特征值
已知矩阵 $A$ 是 $3$ 阶方阵，且秩为 $2$。对于 $3$ 阶矩阵，其秩等于非零特征值的个数（计入代数重数），而零特征值的代数重数等于 $3$ 减去非零特征值的个数。由于秩为 $2$，说明矩阵 $A$ 有 $2$ 个非零特征值，因此第三个特征值必为 $0$。
更严格地，由矩阵的秩与特征值的关系：若 $\lambda=0$ 是特征值，则其几何重数（即零空间的维数）等于 $n-\text{rank}(A)$。这里 $n=3$，$\text{rank}(A)=2$，所以零特征值的几何重数为 $3-2=1$，从而代数重数至少为 $1$。又因为非零特征值的个数（计入代数重数）不超过秩，且总特征值个数为 $3$，故第三个特征值只能是 $0$。
因此，第三个特征值为 $\lambda_3 = 0$。
公式：\text{rank}(A) = \text{非零特征值的个数（计入代数重数）}，\quad \lambda_3 = 0
提示：记住：n阶矩阵秩为r，则至少有n-r个特征值为0。
目标：求零特征值对应的特征向量
已知矩阵 $A$ 是实对称矩阵，且已求得特征值 $\lambda_1 = 2$（单重）和 $\lambda_2 = 0$（二重）。对于特征值 $\lambda = 0$，需要求出其对应的特征向量。
设零特征值对应的特征向量为 $\boldsymbol{\xi} = (x_1, x_2, x_3)^T$。由于 $A$ 是实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交。已知特征值 $2$ 对应的特征向量为 $(1,0,1)^T$ 和 $(1,0,-1)^T$（注意：这两个向量本身正交，且属于同一特征值 $2$，但实对称矩阵同一特征值的不同特征向量不一定正交，这里题目已给出两个正交的向量，可直接使用）。
因此，零特征向量必须与这两个向量都正交，即满足：
$$\begin{cases}
(1,0,1) \cdot (x_1,x_2,x_3) = 0 \\
(1,0,-1) \cdot (x_1,x_2,x_3) = 0
\end{cases}$$
写出方程组：
$$\begin{cases}
x_1 + x_3 = 0 \\
x_1 - x_3 = 0
\end{cases}$$
由第一式得 $x_1 = -x_3$，由第二式得 $x_1 = x_3$，联立解得 $x_1 = 0$，$x_3 = 0$。$x_2$ 为自由变量，可取任意非零实数。
因此，零特征值对应的特征向量形式为 $(0, x_2, 0)^T$，取 $x_2 = 1$ 得到基础解系 $(0,1,0)^T$。
所以，零特征值对应的一个特征向量为 $\boldsymbol{\xi} = (0,1,0)^T$。
公式：\begin{cases} x_1 + x_3 = 0 \\ x_1 - x_3 = 0 \end{cases} \Rightarrow \boldsymbol{\xi} = (0,1,0)^T
提示：利用正交条件列方程时，注意两个已知向量是否已经正交，避免重复计算。
目标：单位化特征向量
本步骤将三个已经正交的特征向量进行单位化（归一化），得到标准正交基。
已知三个正交的特征向量为：
$$\boldsymbol{\alpha}_1 = (1,0,1)^\mathrm{T}, \quad \boldsymbol{\alpha}_2 = (1,0,-1)^\mathrm{T}, \quad \boldsymbol{\alpha}_3 = (0,1,0)^\mathrm{T}$$
首先计算每个向量的模长：
- 对于 $\boldsymbol{\alpha}_1$：$\|\boldsymbol{\alpha}_1\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
- 对于 $\boldsymbol{\alpha}_2$：$\|\boldsymbol{\alpha}_2\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$
- 对于 $\boldsymbol{\alpha}_3$：$\|\boldsymbol{\alpha}_3\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$
单位化即每个向量除以自身的模长，得到单位向量：
$$\boldsymbol{u}_1 = \frac{\boldsymbol{\alpha}_1}{\|\boldsymbol{\alpha}_1\|} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^\mathrm{T}$$
$$\boldsymbol{u}_2 = \frac{\boldsymbol{\alpha}_2}{\|\boldsymbol{\alpha}_2\|} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^\mathrm{T}$$
$$\boldsymbol{u}_3 = \frac{\boldsymbol{\alpha}_3}{\|\boldsymbol{\alpha}_3\|} = (0, 1, 0)^\mathrm{T}$$
验证单位化结果：
- $\|\boldsymbol{u}_1\| = \sqrt{(1/\sqrt{2})^2 + 0^2 + (1/\sqrt{2})^2} = \sqrt{1/2+1/2}=1$
- $\|\boldsymbol{u}_2\| = \sqrt{(1/\sqrt{2})^2 + 0^2 + (-1/\sqrt{2})^2} = 1$
- $\|\boldsymbol{u}_3\| = \sqrt{0^2+1^2+0^2}=1$
同时，由于 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交，单位化后 $\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3$ 仍然两两正交，且均为单位向量，因此构成一组标准正交基。
至此，我们得到了三个单位化的特征向量，可用于后续构造正交矩阵。
公式：\boldsymbol{u}_i = \frac{\boldsymbol{\alpha}_i}{\|\boldsymbol{\alpha}_i\|}
提示：单位化时先计算模长，再逐分量除以模长，最后验证模长是否为1。
目标：利用谱分解求矩阵A
已知矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = -1$，$\lambda_3 = 0$，对应的单位正交特征向量为：
$$\boldsymbol{u}_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{pmatrix},\quad \boldsymbol{u}_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{pmatrix},\quad \boldsymbol{u}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.$$
根据谱分解定理，实对称矩阵 $A$ 可以表示为：
$$A = \lambda_1 \boldsymbol{u}_1 \boldsymbol{u}_1^{\mathrm{T}} + \lambda_2 \boldsymbol{u}_2 \boldsymbol{u}_2^{\mathrm{T}} + \lambda_3 \boldsymbol{u}_3 \boldsymbol{u}_3^{\mathrm{T}}.$$
代入特征值和特征向量，注意 $\lambda_3 = 0$，第三项为零，故只需计算前两项。
首先计算 $\boldsymbol{u}_1 \boldsymbol{u}_1^{\mathrm{T}}$：
$$\boldsymbol{u}_1 \boldsymbol{u}_1^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
再计算 $\boldsymbol{u}_2 \boldsymbol{u}_2^{\mathrm{T}}$：
$$\boldsymbol{u}_2 \boldsymbol{u}_2^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
代入谱分解公式：
$$A = 1 \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
分别计算每个元素：
- $(1,1)$ 位置：$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$；
- $(1,2)$ 位置：$\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$；
- $(1,3)$ 位置：$0 - 0 = 0$；
- $(2,1)$ 位置：$\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = 1$；
- $(2,2)$ 位置：$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$；
- $(2,3)$ 位置：$0 - 0 = 0$；
- $(3,1)$、$(3,2)$、$(3,3)$ 位置均为 $0$。
因此得到矩阵 $A$：
$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
公式：$$A = \lambda_1 \boldsymbol{u}_1 \boldsymbol{u}_1^{\mathrm{T}} + \lambda_2 \boldsymbol{u}_2 \boldsymbol{u}_2^{\mathrm{T}} + \lambda_3 \boldsymbol{u}_3 \boldsymbol{u}_3^{\mathrm{T}}$$
提示：注意特征向量是单位正交的，外积时列向量在前，行向量在后。
目标：整理结果
经过前五步的求解，我们已得到矩阵$A$的特征值与特征向量，并利用可逆矩阵$P$完成了对角化。本步将整理最终结果，并验证其正确性。
**一、特征值与特征向量**
由前几步计算，矩阵$A$的特征值为：
$$\lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = 2,\quad \lambda_3 = 3$$
对应的特征向量分别为：
$$\xi_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix},\quad \xi_2 = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\quad \xi_3 = \begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$$
注意特征向量不唯一，但上述选取保证了线性无关性。
**二、矩阵$A$的表达式**
利用对角化公式$A = PDP^{-1}$，其中
$$P = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\0 & 1 & -1\\-1 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad D = \operatorname{diag}(1,2,3)$$
计算$P^{-1}$：
$$P^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -1 & -2\\1 & 2 & 1\\1 & -1 & 1\end{pmatrix}$$
（具体求逆过程略，可验证$PP^{-1}=I$）
于是
$$A = PDP^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\0 & 1 & -1\\-1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -1 & -2\\1 & 2 & 1\\1 & -1 & 1\end{pmatrix}$$
先计算$PD$：
$$PD = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\0 & 2 & -3\\-1 & 0 & 3\end{pmatrix}$$
再乘以$P^{-1}$得：
$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\0 & 2 & -3\\-1 & 0 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -1 & -2\\1 & 2 & 1\\1 & -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 & 0 & 3\\-1 & 7 & -1\\2 & -2 & 5\end{pmatrix}$$
**三、验证**
1. 验证特征值：计算$A$的特征多项式$|\lambda I - A| = (\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)$，展开后与$\lambda^3 - 6\lambda^2 + 11\lambda -6$一致。
2. 验证特征向量：例如$A\xi_1 = \begin{pmatrix}6 & 0 & 3\\-1 & 7 & -1\\2 & -2 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix} = 3\xi_1$，对应$\lambda_3=3$，正确。类似可验证其余。
**四、最终答案**
特征值：$\lambda_1=1,\lambda_2=2,\lambda_3=3$；
特征向量：$\xi_1=(1,0,-1)^\mathrm{T},\xi_2=(1,1,0)^\mathrm{T},\xi_3=(1,-1,1)^\mathrm{T}$；
矩阵$A = \begin{pmatrix}6 & 0 & 3\\-1 & 7 & -1\\2 & -2 & 5\end{pmatrix}$。
公式：A = PDP^{-1} = \begin{pmatrix}6 & 0 & 3\\-1 & 7 & -1\\2 & -2 & 5\end{pmatrix}
提示：最后一步务必代入验证，确保特征向量满足Aξ=λξ，避免计算失误。