2011年考研数学二第8题

选择题 · 4分

📝 题目

设 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right)$ 是4阶矩阵， $\boldsymbol{A}^{*}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵。若（ $\left.1,0,1,0\right)^{\mathrm{T}}$ 是方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系，则 $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系可为

A
$\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{3}$.
B
$\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}$.
C
$\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$.
D
$\mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{4}$

💡 答案解析

**答案**: （D）．

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**解析**:

因为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的基础解系含一个线性无关的解向量，所以 $r(\boldsymbol{A})=3$ ，于是 $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=1$ ，齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的基础解系含 3 个线性无关的解向量，排除选项（A），（B）；由 $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$ 得 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 为 $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的一组解，由 $(1,0,1,0)^{\mathrm{T}}$ 为方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的解得 $\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)=\mathbf{0}$ ， 即 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{3}=\mathbf{0}$ ，或 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=-\boldsymbol{\alpha}_{3}$ ，从而 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关，于是 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关，故 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 为方程组 $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系，应选（D）．

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：确定矩阵A的秩
已知齐次线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系含有一个线性无关的解向量。根据线性代数理论，齐次线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系所含向量的个数等于 $n - r(A)$，其中 $n$ 是未知数的个数（即矩阵 $A$ 的列数），$r(A)$ 是矩阵 $A$ 的秩。 题目中未明确给出 $n$ 的值，但由题设可知 $A$ 是 $4 \times 4$ 矩阵（因为后续步骤涉及特征值等，且常见于此类问题），故 $n=4$。基础解系含一个线性无关的解向量，即 $n - r(A) = 1$。 代入 $n=4$，得 $4 - r(A) = 1$，解得 $r(A) = 3$。 因此，矩阵 $A$ 的秩为 $3$。这一结论将在后续步骤中用于分析特征值、特征向量以及矩阵是否可对角化等问题。
公式：$$n - r(A) = \text{基础解系所含向量个数}$$
提示：基础解系向量个数 = 未知数个数 - 秩，注意 $n$ 是列数。
步骤 2/5
目标：确定伴随矩阵A*的秩
已知矩阵 $A$ 是 $4 \times 4$ 矩阵，且 $r(A)=3$，即 $r(A)=n-1$（其中 $n=4$）。根据伴随矩阵的秩的性质： - 若 $r(A)=n$，则 $r(A^*)=n$； - 若 $r(A)=n-1$，则 $r(A^*)=1$； - 若 $r(A)
公式：$$r(A^*) = \begin{cases} n, & r(A)=n \\ 1, & r(A)=n-1 \\ 0, & r(A)
提示：牢记伴随矩阵秩的结论：$r(A)=n-1$ 时 $r(A^*)=1$，基础解系含 $n-1$ 个向量。
步骤 3/5
目标：找出A*x=0的一组解
已知矩阵 $A$ 满足 $A^* A = |A|E$，且 $|A|=0$，代入得 $A^* A = O$（零矩阵）。将 $A$ 按列分块为 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$，则 $A^* A = A^*(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = (A^*\alpha_1, A^*\alpha_2, A^*\alpha_3, A^*\alpha_4) = O$。因此对每个列向量 $\alpha_j$（$j=1,2,3,4$）有 $A^*\alpha_j = 0$，即 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 都是齐次线性方程组 $A^*x = 0$ 的解。由于 $|A|=0$，$A$ 的秩 $r(A) \leq 3$，故 $A$ 的列向量组线性相关，但至少存在非零列向量（例如 $\alpha_1$ 若不为零），从而得到 $A^*x=0$ 的一组非零解。若 $A$ 的列向量中有零向量，则零向量也是平凡解，但题目要求“一组解”，通常指非零解。因此，$A$ 的列向量（尤其是非零列）构成 $A^*x=0$ 的一组解向量。
公式：A^*A = |A|E \quad \text{且} \quad |A|=0 \quad \Rightarrow \quad A^*A = O \quad \Rightarrow \quad A^*\alpha_j = 0 \ (j=1,2,3,4)
提示：利用 $A^*A=O$ 直接得到 $A$ 的每一列都是 $A^*x=0$ 的解。
步骤 4/5
目标：利用已知条件找出列向量间的线性关系
已知矩阵 $A$ 的列向量组为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$，且 $(1,0,1,0)^T$ 是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解。根据矩阵乘法的定义，$Ax$ 表示 $A$ 的列向量与 $x$ 对应分量的线性组合，即： $$A\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}=1\cdot\alpha_1+0\cdot\alpha_2+1\cdot\alpha_3+0\cdot\alpha_4=\alpha_1+\alpha_3.$$ 由于该向量是零解，故有 $\alpha_1+\alpha_3=0$，即 $\alpha_1=-\alpha_3$。这表明列向量 $\alpha_1$ 与 $\alpha_3$ 线性相关（实际上互为相反向量）。因此，在 $A$ 的四个列向量中，至少存在一组非平凡的线性关系，这为后续判断向量组的秩和线性相关性提供了关键信息。
公式：$$\alpha_1+\alpha_3=0$$
提示：注意解向量分量对应的是列向量的系数，而非列向量本身。
步骤 5/5
目标：选出线性无关的解向量作为基础解系
已知方程组 $A\boldsymbol{x}=0$ 的解空间维数为 $3$，且已求得四个解向量 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$。基础解系需要满足两个条件：① 向量组线性无关；② 向量组中向量的个数等于解空间的维数（此处为3）。 首先检查向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$：由前几步已知 $\alpha_1$ 与 $\alpha_3$ 线性相关（例如 $\alpha_3 = 2\alpha_1$），因此该组线性相关，不能作为基础解系。 再检查向量组 $\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$：假设存在常数 $k_1,k_2,k_3$ 使得 $$k_1\alpha_2 + k_2\alpha_3 + k_3\alpha_4 = 0.$$ 由于 $\alpha_3$ 与 $\alpha_1$ 相关，且 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$ 线性无关（由题目条件或前几步推导可得），可推出 $k_1=k_2=k_3=0$，故 $\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 线性无关。该组向量个数为3，等于解空间维数，因此可以作为 $A\boldsymbol{x}=0$ 的基础解系。 最终答案：选项 (D) 正确。验证：基础解系中的每个向量都是方程的解，且它们线性无关，能够张成整个解空间。
公式：\text{基础解系条件：} \{ \boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\boldsymbol{\xi}_3 \} \text{线性无关，且 } \dim(\ker A)=3
提示：检查向量组是否线性无关时，优先观察是否有成比例的向量。

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