📋 详细解题步骤
目标：用初等矩阵表示列变换
题目中给出矩阵$A$，经过一次列变换得到矩阵$B$：将$A$的第2列加到第1列。列变换通过右乘一个初等矩阵实现。设初等矩阵$P_1$，使得$B = A P_1$。
对于$n$阶方阵，将第$j$列加到第$i$列的初等矩阵，是在单位矩阵$I_n$的基础上，将$(i,j)$位置元素改为1。本题中，将第2列加到第1列，即$i=1, j=2$，因此$P_1$是在$I_n$的基础上，将$(1,2)$位置元素改为1。
以$n=3$为例（题目中矩阵为3阶），单位矩阵$I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，将$(1,2)$位置改为1后得到：
$$P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
验证：右乘$P_1$的效果是$A$的第1列变为$A$的第1列加上第2列，第2列保持不变，第3列保持不变，即$B = A P_1$。
因此，列变换对应的初等矩阵为$P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
提示：列变换右乘，行变换左乘；将第j列加到第i列，初等矩阵在(i,j)处加1。
目标：用初等矩阵表示行变换
已知矩阵 $B$ 经过一次行变换后得到单位矩阵 $E$，该变换为交换 $B$ 的第2行与第3行。设初等矩阵 $P_2$ 表示这一行交换操作，则 $P_2$ 是对 $3$ 阶单位矩阵 $E_3$ 实施相同的行交换得到的，即：
$$P_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$
左乘 $P_2$ 相当于对矩阵 $B$ 进行行交换：
$$P_2 B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} B$$
设 $B$ 的第 $i$ 行为 $\mathbf{r}_i$，则 $P_2 B$ 的结果为：
- 第1行：$1\cdot\mathbf{r}_1 + 0\cdot\mathbf{r}_2 + 0\cdot\mathbf{r}_3 = \mathbf{r}_1$
- 第2行：$0\cdot\mathbf{r}_1 + 0\cdot\mathbf{r}_2 + 1\cdot\mathbf{r}_3 = \mathbf{r}_3$
- 第3行：$0\cdot\mathbf{r}_1 + 1\cdot\mathbf{r}_2 + 0\cdot\mathbf{r}_3 = \mathbf{r}_2$
因此 $P_2 B$ 恰好将 $B$ 的第2行与第3行互换。由题意，交换后得到单位矩阵 $E$，故有：
$$E = P_2 B$$
此式即为用初等矩阵 $P_2$ 表示该行变换的数学表达。注意 $P_2$ 是初等矩阵，其逆矩阵就是自身（因为交换两次恢复原状），即 $P_2^{-1} = P_2$。
公式：$$P_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad E = P_2 B$$
提示：左乘初等矩阵对应行变换，右乘对应列变换，切勿混淆。
目标：建立矩阵等式并解出A
由前一步已知，矩阵$B$满足关系式$B = P_2 A P_1$，且$B = E$（单位矩阵）。将$B = E$代入得：
$$
E = P_2 A P_1.
$$
为了解出矩阵$A$，我们需要在等式两边同时消去$P_2$和$P_1$。由于$P_1$和$P_2$均为可逆矩阵（初等矩阵可逆），我们可以对等式两边左乘$P_2^{-1}$、右乘$P_1^{-1}$：
$$
P_2^{-1} E P_1^{-1} = P_2^{-1} (P_2 A P_1) P_1^{-1}.
$$
左边$P_2^{-1} E P_1^{-1} = P_2^{-1} P_1^{-1}$，右边利用矩阵乘法的结合律：
$$
P_2^{-1} (P_2 A P_1) P_1^{-1} = (P_2^{-1} P_2) A (P_1 P_1^{-1}) = E A E = A.
$$
因此得到：
$$
A = P_2^{-1} P_1^{-1}.
$$
注意，$P_1$和$P_2$是初等矩阵，其逆矩阵容易求得：$P_1^{-1}$是与$P_1$对应的初等矩阵的逆，$P_2^{-1}$同理。最终$A$等于这两个逆矩阵的乘积，顺序不可颠倒（因为左乘和右乘的顺序决定了$P_2^{-1}$在前、$P_1^{-1}$在后）。
公式：A = P_2^{-1} P_1^{-1}
提示：注意左乘和右乘的顺序：左乘$P_2^{-1}$，右乘$P_1^{-1}$，不可交换。
目标：利用初等矩阵的逆简化
在上一节中，我们得到了关系式 $P_2 A = P_1^{-1}$，其中 $P_1$ 和 $P_2$ 均为初等矩阵。现在需要从该式中解出矩阵 $A$。
由于 $P_2$ 是交换两行的初等矩阵（即交换单位矩阵的第 $i$ 行与第 $j$ 行），其逆矩阵等于自身，即 $P_2^{-1} = P_2$。这是因为交换两次行操作会回到原矩阵，所以 $P_2^2 = I$。
在等式 $P_2 A = P_1^{-1}$ 两边同时左乘 $P_2^{-1}$（即 $P_2$），得到：
$$P_2^{-1} (P_2 A) = P_2^{-1} P_1^{-1}$$
由于矩阵乘法满足结合律，且 $P_2^{-1} P_2 = I$，左边化简为 $A$，右边为 $P_2^{-1} P_1^{-1}$。又因为 $P_2^{-1} = P_2$，所以：
$$A = P_2 P_1^{-1}$$
对照题目给出的四个选项：
(A) $P_1 P_2$
(B) $P_1^{-1} P_2$
(C) $P_2 P_1$
(D) $P_2 P_1^{-1}$
显然，我们推导出的结果 $A = P_2 P_1^{-1}$ 与选项 (D) 完全一致。因此，正确答案为 (D)。
验证：若 $A = P_2 P_1^{-1}$，则 $P_2 A = P_2 (P_2 P_1^{-1}) = (P_2 P_2) P_1^{-1} = I P_1^{-1} = P_1^{-1}$，与已知条件 $P_2 A = P_1^{-1}$ 相符，故推导正确。
公式：A = P_2 P_1^{-1}
提示：交换两行的初等矩阵的逆就是自身，直接代入即可简化。