2011年考研数学二第9题

首先，我们分析极限表达式 $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1+2^x}{2} \right)^{1/x}$ 的类型。当 $x \to 0$ 时，底数部分 $\frac{1+2^x}{2}$ 的极限需要单独考察。由于 $2^x$ 在 $x=0$ 处连续，且 $2^0 = 1$，因此 $\lim_{x \to 0} 2^x = 1$。于是底数的极限为 $\frac{1+1}{2} = 1$。同时，指数部分 $\frac{1}{x}$ 当 $x \to 0$ 时趋向于无穷大（具体地，当 $x \to 0^+$ 时，$1/x \to +\infty$；当 $x \to 0^-$ 时，$1/x \to -\infty$）。因此，该极限具有“$1^\infty$”的形式，属于未定式。在极限计算中，$1^\infty$ 型未定式通常可以通过取对数转化为 $0 \cdot \infty$ 型，再进一步利用等价无穷小或洛必达法则求解。本题后续步骤将采用这一标准方法。

当前步骤的目标是将极限表达式中的底数改写为 $1 + \text{无穷小量}$ 的形式，以便后续利用重要极限 $\lim_{t \to 0} (1+t)^{1/t} = e$ 进行求解。 原极限为 $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1+2^x}{2} \right)^{1/x}$。首先处理底数 $\frac{1+2^x}{2}$。将其拆分为 $1 + \frac{2^x - 1}{2}$，因为： $$ \frac{1+2^x}{2} = \frac{2 + (2^x - 1)}{2} = 1 + \frac{2^x - 1}{2}. $$ 当 $x \to 0$ 时，$2^x - 1 \to 0$，因此 $\frac{2^x - 1}{2}$ 是一个无穷小量。于是底数被成功化为 $1 + \alpha(x)$ 的形式，其中 $\alpha(x) = \frac{2^x - 1}{2}$ 满足 $\alpha(x) \to 0$（$x \to 0$）。 此时原极限变为： $$ \lim_{x \to 0} \left( 1 + \frac{2^x - 1}{2} \right)^{1/x}. $$ 为了后续步骤中能够应用重要极限，我们还需要将指数 $1/x$ 与无穷小量 $\frac{2^x - 1}{2}$ 建立联系。通常的做法是将指数改写为 $\frac{1}{\alpha(x)} \cdot \frac{\alpha(x)}{x}$ 的形式，即： $$ \left( 1 + \alpha(x) \right)^{1/x} = \left( 1 + \alpha(x) \right)^{\frac{1}{\alpha(x)} \cdot \frac{\alpha(x)}{x}}. $$ 这里 $\alpha(x) = \frac{2^x - 1}{2}$，因此 $\frac{\alpha(x)}{x} = \frac{2^x - 1}{2x}$。这一步仅为形式上的准备，具体计算将在后续步骤中完成。 至此，底数已成功化为 $1+\text{无穷小}$ 的标准形式，为下一步利用重要极限奠定了基础。

观察原极限的形式，当$x \to 0$时，底数$\left(\frac{2^x+1}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$的底数部分$\frac{2^x+1}{2} \to 1$，指数部分$\frac{1}{x} \to \infty$，因此该极限属于$1^\infty$型未定式。对于$1^\infty$型极限，我们常用公式：若$u \to 0$且$v \to \infty$，则$\lim (1+u)^v = e^{\lim (u \cdot v)}$。 首先将底数变形为$1+u$的形式： $$ \frac{2^x+1}{2} = 1 + \frac{2^x+1}{2} - 1 = 1 + \frac{2^x-1}{2}. $$ 令$u = \frac{2^x-1}{2}$，则当$x \to 0$时，$2^x \to 1$，故$u \to 0$，满足条件。指数部分$v = \frac{1}{x} \to \infty$。 根据$1^\infty$型极限公式： $$ \lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{2^x-1}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = e^{\lim_{x \to 0} \left(\frac{2^x-1}{2} \cdot \frac{1}{x}\right)} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{2^x-1}{2x}}. $$ 因此，原极限转化为求指数部分$\lim_{x \to 0} \frac{2^x-1}{2x}$的值。这一步的关键是将复杂的幂指函数极限转化为一个相对简单的分式极限，为后续使用等价无穷小或洛必达法则做好准备。

本步骤的目标是计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{2^x - 1}{2x}$。首先，观察分子 $2^x - 1$，当 $x \to 0$ 时，$2^x \to 1$，因此分子趋于0，分母也趋于0，这是一个 $\frac{0}{0}$ 型未定式。为了求解该极限，我们利用等价无穷小替换：当 $x \to 0$ 时，$a^x - 1 \sim x \ln a$（其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$）。这里 $a = 2$，所以 $2^x - 1 \sim x \ln 2$。将等价无穷小代入原极限： $$ \lim_{x \to 0} \frac{2^x - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{x \ln 2}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln 2}{2} = \frac{\ln 2}{2}. $$ 因此，指数部分的极限为 $\frac{\ln 2}{2}$。注意，等价无穷小替换仅适用于乘除运算，且必须确保替换后的表达式与原式在极限过程中是等价的。这里 $x \to 0$ 时，$x \neq 0$，所以可以约去 $x$，得到常数极限。

经过前四步的推导，我们已将原极限化为 $e^{\frac{\ln 2}{2}}$ 的形式。现在只需对该指数表达式进行化简。 首先，回忆指数与对数的基本关系：$e^{\ln a} = a$（其中 $a>0$）。因此，$e^{\frac{\ln 2}{2}} = e^{\ln 2^{1/2}} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$。 也可以直接利用指数运算法则：$e^{\frac{\ln 2}{2}} = (e^{\ln 2})^{1/2} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$。 因此，原极限的值为 $\sqrt{2}$。 **验证**：将结果代入原极限表达式进行检验。原极限为 $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1+2^x}{2} \right)^{1/x}$。当 $x \to 0$ 时，$2^x \approx 1 + x \ln 2$，则 $\frac{1+2^x}{2} \approx 1 + \frac{x \ln 2}{2}$，于是 $\left(1 + \frac{x \ln 2}{2}\right)^{1/x} \to e^{\ln 2 / 2} = \sqrt{2}$，与计算结果一致。 最终答案为 $\sqrt{2}$。