2011年考研数学二第13题

首先，分析题目给出的三条边界曲线：直线 $y=x$，圆 $x^2+y^2=2y$ 以及 $y$ 轴（即 $x=0$）。将圆的方程化为标准形式：$x^2+y^2-2y=0$，配方得 $x^2+(y-1)^2=1$，因此圆心为 $(0,1)$，半径为 $1$。 在平面直角坐标系中画出这三条曲线： - $y$ 轴是直线 $x=0$； - 直线 $y=x$ 过原点，斜率为 $1$； - 圆 $x^2+(y-1)^2=1$ 以 $(0,1)$ 为圆心，半径为 $1$，与 $y$ 轴交于 $(0,0)$ 和 $(0,2)$，与直线 $y=x$ 的交点需要联立求解。 联立 $y=x$ 与 $x^2+(y-1)^2=1$，代入得 $x^2+(x-1)^2=1$，即 $2x^2-2x+1=1$，化简为 $2x^2-2x=0$，解得 $x=0$ 或 $x=1$。对应 $y=0$ 和 $y=1$，所以两个交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。 因此，积分区域是由 $y$ 轴（$x=0$）、直线 $y=x$ 以及圆 $x^2+(y-1)^2=1$ 在 $x\ge 0$ 部分所围成的封闭区域。该区域位于第一象限，形状类似于一个曲边三角形：下边界为直线 $y=x$（从 $x=0$ 到 $x=1$），上边界为圆的右半部分（从 $x=0$ 到 $x=1$）。 为了确定积分限，需要将区域用不等式表示。由于圆的方程 $x^2+(y-1)^2=1$ 可解出 $y=1\pm\sqrt{1-x^2}$，在 $x\in[0,1]$ 范围内，上边界取 $y=1+\sqrt{1-x^2}$，下边界取 $y=1-\sqrt{1-x^2}$。但注意，直线 $y=x$ 与圆的下半部分相交于 $(0,0)$ 和 $(1,1)$，而圆的下半部分在 $x\in[0,1]$ 上为 $y=1-\sqrt{1-x^2}$，其值从 $0$ 增加到 $1$，恰好与直线 $y=x$ 重合于端点。实际上，在 $x\in[0,1]$ 内，直线 $y=x$ 位于圆的下半部分之上（例如 $x=0.5$ 时，直线 $y=0.5$，圆下半部分 $y=1-\sqrt{0.75}\approx 0.134$），因此区域的下边界是圆的下半部分，上边界是直线 $y=x$？需要仔细判断。 重新审视区域：由 $y$ 轴、直线 $y=x$ 和圆围成。圆与 $y$ 轴交于 $(0,0)$ 和 $(0,2)$，直线与圆交于 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。因此，区域边界为：从 $(0,0)$ 沿 $y$ 轴向上到 $(0,2)$？不对，因为直线 $y=x$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$，圆从 $(1,1)$ 沿圆弧到 $(0,2)$，再沿 $y$ 轴从 $(0,2)$ 回到 $(0,0)$。但这样区域包含 $x=0$ 到 $x=1$ 的部分，且 $y$ 轴是左边界。 更合理的描述：区域由 $x=0$（左边界）、$y=x$（下边界，从 $x=0$ 到 $x=1$）和圆 $x^2+(y-1)^2=1$（上边界，从 $(1,1)$ 到 $(0,2)$）围成。因此，对于固定的 $x\in[0,1]$，$y$ 的下限是 $y=x$，上限是圆的上半部分 $y=1+\sqrt{1-x^2}$。注意，当 $x=0$ 时，下限 $y=0$，上限 $y=2$；当 $x=1$ 时，下限 $y=1$，上限 $y=1$。 因此，积分区域可表示为：$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\ x\le y\le 1+\sqrt{1-x^2}\}$。 至此，积分区域已画出，边界确定，积分限为 $x$ 从 $0$ 到 $1$，$y$ 从 $x$ 到 $1+\sqrt{1-x^2}$。

根据积分区域 $D$ 的图形特征，选择先对 $x$ 后对 $y$ 的积分次序。区域 $D$ 由直线 $x = y$ 和圆 $x^2 + y^2 = 2$ 围成，且位于第一象限。首先确定 $y$ 的取值范围：圆与 $y$ 轴的交点为 $(0, \sqrt{2})$，直线与圆的交点满足 $x = y$ 代入圆方程得 $y^2 + y^2 = 2$，即 $2y^2 = 2$，解得 $y = 1$（取正值）。因此 $y$ 从 $0$ 到 $\sqrt{2}$，但需注意在 $y \in [0,1]$ 和 $y \in [1,\sqrt{2}]$ 时 $x$ 的上下限不同。实际上，对于固定的 $y$，$x$ 从直线 $x = y$ 到圆的右半部分 $x = \sqrt{2 - y^2}$，但需保证 $x \geq 0$。当 $y \in [0,1]$ 时，直线 $x = y$ 在圆内，$x$ 下限为 $y$，上限为 $\sqrt{2 - y^2}$；当 $y \in [1,\sqrt{2}]$ 时，直线 $x = y$ 已超出圆外，此时 $x$ 应从 $0$ 到 $\sqrt{2 - y^2}$。因此积分区域需分为两部分，累次积分为： $$\iint_D f(x,y) \,dxdy = \int_0^1 dy \int_y^{\sqrt{2-y^2}} f(x,y) \,dx + \int_1^{\sqrt{2}} dy \int_0^{\sqrt{2-y^2}} f(x,y) \,dx.$$ 若题目中 $f(x,y)=1$（求面积），则上式可直接计算。注意：此处根据步骤目标仅写出累次积分形式，不进行具体计算。

本步骤需要计算内层积分 $\int_0^y xy \, dx$。注意，在计算内层积分时，变量 $x$ 是积分变量，而 $y$ 被视为常数。因此，被积函数 $xy$ 可以写成 $y \cdot x$，其中 $y$ 是常数因子。根据定积分的线性性质，常数因子可以提到积分号外面： $$ \int_0^y xy \, dx = y \int_0^y x \, dx. $$ 接下来计算 $\int_0^y x \, dx$。这是幂函数 $x$ 的定积分，其原函数为 $\frac{1}{2}x^2$。应用牛顿-莱布尼茨公式： $$ \int_0^y x \, dx = \left. \frac{1}{2}x^2 \right|_0^y = \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{2} \cdot 0^2 = \frac{1}{2}y^2. $$ 将结果代回原式： $$ y \cdot \frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}y^3. $$ 因此，内层积分的计算结果为 $\frac{1}{2}y^3$。注意，步骤概要中给出的结果 $y^3/2$ 与 $\frac{1}{2}y^3$ 是等价的。

本步骤计算外层积分。由前一步骤得到二次积分化为： $$\int_0^2 \frac{y^3}{2} \, dy$$ 首先将常数因子 $\frac{1}{2}$ 提到积分号外： $$\frac{1}{2} \int_0^2 y^3 \, dy$$ 计算不定积分 $\int y^3 \, dy = \frac{y^4}{4} + C$，因此定积分为： $$\int_0^2 y^3 \, dy = \left. \frac{y^4}{4} \right|_0^2 = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} - 0 = 4$$ 再乘以系数 $\frac{1}{2}$： $$\frac{1}{2} \times 4 = 2$$ 因此，原二重积分的值为 $2$。 **最终答案验证**：将结果代入原积分表达式，检查计算过程无误。积分区域为 $0 \le y \le 2$，$0 \le x \le y$，被积函数为 $xy$，计算结果为 $2$，符合预期。