💡 答案解析
显然 $\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle\int_{0}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y=a$ ，
$$
\begin{aligned}
& I=\iint_{D} x y f_{x y}^{\prime \prime}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} x \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} y f_{x y}^{\prime \prime}(x, y) \mathrm{d} y=\int_{0}^{1} x \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} y \mathrm{~d}\left[f_{x}^{\prime}(x, y)\right], \\
& \text { 由 } \int_{0}^{1} y \mathrm{~d}\left[f_{x}^{\prime}(x, y)\right]=\left.y f_{x}^{\prime}(x, y)\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} f_{x}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y=f_{x}^{\prime}(x, 1)-\int_{0}^{1} f_{x}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y \text { 得 } \\
& I=\int_{0}^{1} x f_{x}^{\prime}(x, 1) \mathrm{d} x-\int_{0}^{1} x \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} f_{x}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y, \\
& \text { 由 } \int_{0}^{1} x f_{x}^{\prime}(x, 1) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} x \mathrm{~d}[f(x, 1)]=0 \text { 得 } \\
& I=-\int_{0}^{1} x \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} f_{x}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y=-\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{1} x f_{x}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} x=-\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{1} x \mathrm{~d}[f(x, y)], \\
& \text { 再由 } \int_{0}^{1} x \mathrm{~d} f(x, y)=\left.x f(x, y)\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} f(x, y) \mathrm{d} x=f(1, y)-\int_{0}^{1} f(x, y) \mathrm{d} x=-\int_{0}^{1} f(x, y) \mathrm{d} x \text { 得 } \\
& I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{1} f(x, y) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y=a .
\end{aligned}
$$
方法点评：本题主要考查二重积分转化为累次积分及改变累次积分的积分次序，抽象函数的定积分的分部积分法。
📋 详细解题步骤
目标：将二重积分化为累次积分
题目中积分区域为正方形区域 $D = [0,1] \times [0,1]$，被积函数为 $x y f_{xy}(x,y)$，其中 $f_{xy}$ 表示 $f(x,y)$ 对 $x$ 和 $y$ 的混合偏导数。二重积分 $I = \iint_D x y f_{xy}(x,y) \, dxdy$ 可以按照先对 $x$ 积分、再对 $y$ 积分的顺序化为累次积分。由于区域是矩形，积分限均为常数：$x$ 从 $0$ 到 $1$，$y$ 从 $0$ 到 $1$。因此有：
$$I = \int_0^1 \int_0^1 x y f_{xy}(x,y) \, dx \, dy.$$
为了后续分部积分方便，我们将其写为外层对 $y$ 积分、内层对 $x$ 积分的形式，并将与 $y$ 有关的因子 $y$ 提到外层积分号外（注意 $y$ 相对于内层 $x$ 积分是常数）：
$$I = \int_0^1 y \left[ \int_0^1 x f_{xy}(x,y) \, dx \right] dy.$$
至此，已将二重积分化为累次积分，内层积分是关于 $x$ 的定积分，外层是关于 $y$ 的定积分。该形式为下一步对内层积分使用分部积分法做好准备。
公式：$$I = \int_0^1 y \left[ \int_0^1 x f_{xy}(x,y) \, dx \right] dy$$
提示：注意矩形区域积分限均为常数，先对哪个变量积分都可以，但要根据后续步骤选择方便的顺序。
目标：对x进行分部积分
对于固定的$y$，考虑积分$\int_0^1 x f_{xy}(x,y) \, dx$。令$u = x$，$dv = f_{xy}(x,y) \, dx$，则$du = dx$，$v = f_y(x,y)$。应用分部积分公式：
$$\int_0^1 u \, dv = \left[ u v \right]_0^1 - \int_0^1 v \, du$$
得到
$$\int_0^1 x f_{xy}(x,y) \, dx = \left[ x f_y(x,y) \right]_{x=0}^{x=1} - \int_0^1 f_y(x,y) \, dx.$$
计算边界项：当$x=1$时，由已知条件$f(1,y)=0$对任意$y$成立，两边对$y$求偏导得$f_y(1,y)=0$，因此$x f_y(x,y)$在$x=1$处的值为$1 \cdot 0 = 0$；当$x=0$时，$x=0$使得该项为$0$。故边界项整体为$0$。于是
$$\int_0^1 x f_{xy}(x,y) \, dx = -\int_0^1 f_y(x,y) \, dx.$$
这样，原积分简化为对$f_y$的积分，为后续对$y$的积分做准备。
公式：$$\int_0^1 x f_{xy}(x,y) \, dx = \left[ x f_y(x,y) \right]_{0}^{1} - \int_0^1 f_y(x,y) \, dx = -\int_0^1 f_y(x,y) \, dx$$
提示：分部积分时，优先将$f_{xy}$视为$f_y$对$x$的导数，简化边界项。
目标：代入并交换积分次序
将上一步得到的表达式代入 $I$，得到：
$$I = -\int_0^1 \int_0^1 y f_y \, dx \, dy.$$
此时积分区域为 $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$，即单位正方形。被积函数 $y f_y$ 与 $x$ 无关，因此可以先对 $x$ 积分，再对 $y$ 积分。但题目要求交换积分次序，即先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分。由于积分区域是正方形，交换次序后积分限不变：
$$I = -\int_0^1 \left[ \int_0^1 y f_y \, dy \right] dx.$$
注意，内层积分 $\int_0^1 y f_y \, dy$ 是关于 $y$ 的定积分，其结果是一个与 $x$ 无关的常数（因为 $f_y$ 是 $f$ 对 $y$ 的偏导数，但 $f$ 本身可能依赖于 $x$ 和 $y$，这里 $f_y$ 是 $f(x,y)$ 对 $y$ 的偏导，故内层积分结果仍可能含有 $x$。实际上，$f_y = \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$，所以内层积分是 $x$ 的函数。因此交换次序后，外层对 $x$ 积分，内层对 $y$ 积分，积分限均为 $0$ 到 $1$。
进一步，我们可以将内层积分写为：
$$\int_0^1 y \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \, dy.$$
至此，积分次序已成功交换，下一步将利用分部积分法处理内层积分。
公式：I = -\int_0^1 \left[ \int_0^1 y f_y \, dy \right] dx
提示：交换积分次序时，先画出积分区域图，再确定新积分限。
目标：对y进行分部积分
本步骤对固定的$x$，计算内层积分$\int_0^1 y f_y(x,y) \, dy$。采用分部积分法，令$u = y$，$dv = f_y \, dy$，则$du = dy$，$v = f(x,y)$。分部积分公式为：
$$
\int_0^1 u \, dv = \left[ u v \right]_0^1 - \int_0^1 v \, du.
$$
代入得：
$$
\int_0^1 y f_y \, dy = \left[ y \, f(x,y) \right]_{y=0}^{y=1} - \int_0^1 f(x,y) \, dy.
$$
计算边界项：当$y=1$时，由题目条件$f(x,1)=0$，故$1 \cdot f(x,1)=0$；当$y=0$时，$0 \cdot f(x,0)=0$。因此边界项整体为$0-0=0$。于是得到：
$$
\int_0^1 y f_y \, dy = - \int_0^1 f(x,y) \, dy.
$$
此结果将用于下一步对$x$的积分中。
公式：$$\int_0^1 y f_y \, dy = -\int_0^1 f(x,y) \, dy$$
提示：分部积分时注意边界项代入条件$f(x,1)=0$，且$y=0$项自动为零。
目标：代入并利用已知条件得出结果
将上一步得到的结果 $I = -\int_0^1 \left[ -\int_0^1 f \, dy \right] dx$ 进行化简。首先，去掉内层积分前的负号，得到 $I = -\int_0^1 \left( -\int_0^1 f \, dy \right) dx = \int_0^1 \left( \int_0^1 f \, dy \right) dx$。根据二重积分的性质，累次积分可以交换积分次序，因此 $\int_0^1 \left( \int_0^1 f \, dy \right) dx = \iint_{[0,1]\times[0,1]} f \, dx \, dy$。题目已知条件为 $\iint_{[0,1]\times[0,1]} f \, dx \, dy = a$，其中 $a$ 是给定的常数。因此，$I = a$。最终结果验证：通过逐步推导，将原积分 $I$ 转化为二重积分，并直接利用已知条件得到结果，计算过程无误。
公式：$$I = \int_0^1 \int_0^1 f \, dx \, dy = a$$
提示：注意负号的逐层处理，并确认积分区域一致后再代入已知值。