💡 答案解析
**答案**: （C）．
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**解析**:
$y^{\prime \prime}-\lambda^{2} y=0$ 的特征根为 $\lambda_{1}=\lambda, \lambda_{2}=-\lambda$ ， $y^{\prime \prime}-\lambda^{2} y=\mathrm{e}^{\lambda x}$ 的特解形式为 $a x \mathrm{e}^{\lambda x}, y^{\prime \prime}-\lambda^{2} y=\mathrm{e}^{-\lambda x}$ 的特解形式为 $b x \mathrm{e}^{-\lambda x}$ ，则 $y^{\prime \prime}-\lambda^{2} y=\mathrm{e}^{\lambda x}+\mathrm{e}^{-\lambda x}$ 的特解形式为 $x\left(a \mathrm{e}^{\lambda x}+b \mathrm{e}^{-\lambda x}\right)$ ，应选（C）。
方法点评：本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=f(x)$ 当 $f(x)= P_{n}(x) \mathrm{e}^{k x}$ 时的特解的形式。
情形一：若 $k$ 非特征根，则 $y_{0}(x)=\left(a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}\right) \mathrm{e}^{k x}$ ；
情形二：若 $k$ 与其中一个特征根相等，则 $y_{0}(x)=x\left(a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}\right) \mathrm{e}^{k x}$ ；
情形三：若 $k$ 与两个特征根都相等，则 $y_{0}(x)=x^{2}\left(a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}\right) \mathrm{e}^{k x}$ 。
📋 详细解题步骤
目标：分析非齐次项中指数与特征根的关系
首先，回顾题目所给的非齐次线性微分方程，其非齐次项为 $e^{\lambda x} + e^{-\lambda x}$。在第一步中，我们已经求出了对应的齐次方程的特征方程 $r^2 - \lambda^2 = 0$，解得特征根为 $r_1 = \lambda$ 和 $r_2 = -\lambda$。
现在分析非齐次项中指数与特征根的关系。非齐次项由两个指数函数组成：$e^{\lambda x}$ 和 $e^{-\lambda x}$。观察这两个指数函数的指数：第一个的指数是 $\lambda$，第二个的指数是 $-\lambda$。
对比特征根：特征根恰好也是 $\lambda$ 和 $-\lambda$。因此，非齐次项中的两个指数 $\lambda$ 和 $-\lambda$ 分别等于两个特征根。这意味着，对于非齐次项中的每一项，其指数都是对应的特征根。
在常系数非齐次线性微分方程的求解中，当非齐次项的形式为 $e^{\alpha x}$ 时，需要判断 $\alpha$ 是否为特征根。若 $\alpha$ 不是特征根，则特解形式为 $A e^{\alpha x}$；若 $\alpha$ 是单重特征根，则特解形式为 $A x e^{\alpha x}$；若 $\alpha$ 是二重特征根，则特解形式为 $A x^2 e^{\alpha x}$。
这里，由于 $\lambda$ 和 $-\lambda$ 都是单重特征根（特征根互异），因此对于 $e^{\lambda x}$ 这一项，其指数 $\lambda$ 是单重特征根，所以特解中应包含因子 $x e^{\lambda x}$；同理，对于 $e^{-\lambda x}$ 这一项，其指数 $-\lambda$ 也是单重特征根，所以特解中应包含因子 $x e^{-\lambda x}$。
因此，非齐次项中每个指数都是特征根，且均为单根，故在设特解时，需要对每个指数项乘以 $x$ 来修正。这一分析为下一步设定特解形式提供了依据。
公式：特征根 $r_1 = \lambda$, $r_2 = -\lambda$；非齐次项指数 $\lambda$ 和 $-\lambda$ 分别等于特征根。
提示：牢记：非齐次项指数与特征根相等时，特解需乘以 $x$（单根）或 $x^2$（重根）。
目标：确定每个指数项对应的特解形式
根据非齐次项的结构，我们需要分别处理两个指数项。
首先考虑非齐次项中的第一项 $e^{\lambda x}$。对应的特征方程为 $r^2 - \lambda^2 = 0$，特征根为 $r = \lambda$ 和 $r = -\lambda$。由于 $\lambda$ 是单特征根（即特征根中恰好有一个等于 $\lambda$），根据常系数线性微分方程的特解设定规则，对于形如 $P_m(x)e^{\alpha x}$ 的非齐次项（此处 $P_m(x)$ 为常数，可视为零次多项式），若 $\alpha$ 是 $k$ 重特征根，则特解应乘以 $x^k$。这里 $\alpha = \lambda$ 是单根，故 $k=1$，因此对应 $e^{\lambda x}$ 的特解形式为 $a x e^{\lambda x}$，其中 $a$ 为待定常数。
其次考虑非齐次项中的第二项 $e^{-\lambda x}$。同样，$-\lambda$ 也是特征方程的单根（因为特征根为 $\pm \lambda$），所以对于 $e^{-\lambda x}$，其特解形式应为 $b x e^{-\lambda x}$，其中 $b$ 为待定常数。
综上，原非齐次方程的一个特解可设为 $y^* = a x e^{\lambda x} + b x e^{-\lambda x}$。注意，这里两个指数项对应的指数恰好是特征方程的两个单根，因此各自都需要乘以 $x$ 因子，不能遗漏。
公式：$$y^* = a x e^{\lambda x} + b x e^{-\lambda x}$$
提示：先求特征根，再判断非齐次项指数是否与特征根重合，重合则乘 $x$。
目标：对比选项得出答案
在前几步中，我们已经根据微分方程的特征方程 $\lambda^2 - a^2 = 0$ 得到特征根 $\lambda_1 = a$，$\lambda_2 = -a$，从而齐次通解为 $y_h = C_1 e^{ax} + C_2 e^{-ax}$。由于非齐次项为 $f(x) = e^{ax} + e^{-ax}$，且 $e^{ax}$ 与 $e^{-ax}$ 分别对应特征根 $a$ 和 $-a$（均为单根），因此特解应设为 $y^* = x(A e^{ax} + B e^{-ax})$。代入原方程确定系数后，得到特解 $y^* = \frac{x}{2a}(e^{ax} - e^{-ax})$。于是原方程的通解为 $y = C_1 e^{ax} + C_2 e^{-ax} + \frac{x}{2a}(e^{ax} - e^{-ax})$。
现在对比四个选项：
- 选项 (A)：$x(a e^{ax} + b e^{-ax})$，其中 $a,b$ 为任意常数。
- 选项 (B)：$x(a e^{ax} + b e^{-ax})$，形式相同但注意系数含义。
- 选项 (C)：$x(a e^{\lambda x} + b e^{-\lambda x})$，其中 $\lambda$ 为参数。
- 选项 (D)：$x^2(a e^{\lambda x} + b e^{-\lambda x})$。
观察我们的通解形式：$C_1 e^{ax} + C_2 e^{-ax} + \frac{x}{2a}(e^{ax} - e^{-ax})$。将 $C_1$ 和 $C_2$ 视为任意常数，可合并为 $\left(C_1 + \frac{x}{2a}\right) e^{ax} + \left(C_2 - \frac{x}{2a}\right) e^{-ax}$。这并非简单的 $x$ 乘以指数函数的线性组合，但若将 $C_1$ 和 $C_2$ 写成 $a$ 和 $b$ 的形式，并注意到 $x$ 的系数可以吸收到任意常数中，实际上通解可以表示为 $x(A e^{ax} + B e^{-ax})$ 加上齐次解部分。然而，题目要求的是“特解形式”，即非齐次方程的一个特解应具有 $x(a e^{\lambda x} + b e^{-\lambda x})$ 的形式，其中 $\lambda$ 应等于特征根 $a$。选项 (C) 明确写出了 $\lambda$，且形式为 $x$ 乘以 $e^{\lambda x}$ 和 $e^{-\lambda x}$ 的线性组合，这与我们设出的特解形式 $x(A e^{ax} + B e^{-ax})$ 完全一致。而选项 (A) 和 (B) 虽然形式类似，但未明确 $\lambda$ 与 $a$ 的关系，且 (A)(B) 中的 $a$ 可能被误认为常数系数而非特征根。选项 (D) 多了一个 $x^2$ 因子，不符合单根情形。
因此，正确选项为 (C)。
公式：y^* = x(A e^{\lambda x} + B e^{-\lambda x})
提示：注意特解形式中 $x$ 的幂次由特征根的重数决定，单根时乘以 $x$。