2011年考研数学二第1题
📝 题目
已知当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $f(x)=3 \sin x-\sin 3 x$ 与 $c x^{k}$ 是等价无穷小量，则 $(\mathrm{C}) k=3, c=4$ ．
💡 答案解析
**答案**: （C）。
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**解析**:
由 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)}{x^{n}}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\displaystyle\int_{0}^{x^{2}} \displaystyle\frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t}{x^{n}}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{2 x \cdot \displaystyle\frac{\sin x^{2}}{x^{2}}}{n x^{n-1}}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{2}{n x^{n-2}}$ ，得 $n-2=0$ ，即 $n=2$ ，且 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)}{x^{2}}=1$ ，即 $f(x) \sim x^{2}$ ，故 $a=1, b=2$ ． 【例 2】设 $f(x)$ 一阶可导，且 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=2$ ，又 $g(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{d} t \sim a x^{b}$ ，求 $a, b$ ．【解】 $g(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{d} t \xlongequal{x-t=u} \displaystyle\int_{x}^{0}(x-u) f(u)(-\mathrm{d} u)=x \displaystyle\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u-\displaystyle\int_{0}^{x} u f(u) \mathrm{d} u$ ，由 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{g(x)}{x^{n}}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\displaystyle\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u}{n x^{n-1}}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)}{n(n-1) x^{n-2}}$ 得 $n-2=1$ ，即 $n=3$ ，且 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{g(x)}{x^{3}}=\displaystyle\frac{1}{6} \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\displaystyle\frac{1}{3}$ ，即 $g(x) \sim \displaystyle\frac{1}{3} x^{3}$ ，故 $a=\displaystyle\frac{1}{3}, b=3$ ．