2012年考研数学二第10题

首先，我们面对的和式是 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2 + n^2}$。为了将其转化为定积分的形式，需要将通项改写为 $\frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right)$ 的结构。 对每一项 $\frac{1}{k^2 + n^2}$，提取因子 $\frac{1}{n^2}$： $$\frac{1}{k^2 + n^2} = \frac{1}{n^2 \left( \frac{k^2}{n^2} + 1 \right)} = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}.$$ 于是整个和式变为： $$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2 + n^2} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^2} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2} = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}.$$ 注意到我们需要的最终形式是 $\frac{1}{n} \sum f\left(\frac{k}{n}\right)$，而目前前面是 $\frac{1}{n^2}$。因此，再提取一个 $\frac{1}{n}$ 因子： $$\frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}.$$ 至此，通项改写完成。原和式等价于 $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + (k/n)^2}$，其中 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$，$x_k = \frac{k}{n}$，这正是定积分 $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx$ 的黎曼和形式。

在第一步中，我们已经将原极限表达式转化为： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}. $$ 现在，我们需要识别出这个和式是函数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ 在区间 $[0,1]$ 上的黎曼和。 黎曼和的一般形式为： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right), $$ 其中，将区间 $[0,1]$ 等分为 $n$ 个小区间，每个小区间的长度为 $\frac{1}{n}$，取右端点 $x_k = \frac{k}{n}$ 作为采样点。 对比我们的表达式： $$ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right), $$ 其中 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$。 因此，原极限等于定积分： $$ \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx. $$ 这一步的关键是将离散的和式与连续的积分联系起来，为下一步计算积分打下基础。

根据定积分的定义，若函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，则积分和式的极限可表示为定积分： $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) = \int_0^1 f(x) \, dx.$$ 观察题目中的极限表达式： $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1 + \left(\frac{i}{n}\right)^2}.$$ 这里，求和指标$i$从1到$n$，每一项的被加函数为$\frac{1}{1 + (i/n)^2}$，而$\frac{1}{n}$是小区间的长度。因此，令$x_i = \frac{i}{n}$，则$x_i$等分区间$[0,1]$，且$\Delta x = \frac{1}{n}$。于是，该极限正是函数$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$在区间$[0,1]$上的定积分定义： $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1 + (i/n)^2} = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx.$$ 注意：当$n \to \infty$时，$\frac{i}{n}$连续地取遍$[0,1]$上的所有值，因此极限转化为定积分。该积分是标准形式，其原函数为$\arctan x$，后续步骤将直接计算该定积分。

本步骤需要计算定积分 $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx$。该积分是基本积分公式的直接应用。我们知道，不定积分 $\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C$。因此，定积分计算如下： $$ \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx = \left. \arctan x \right|_0^1 = \arctan 1 - \arctan 0. $$ 由于 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$，$\arctan 0 = 0$，所以 $$ \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}. $$ 至此，原定积分的计算完成。最终答案为 $\frac{\pi}{4}$。我们可以通过数值验证：$\frac{\pi}{4} \approx 0.785398$，而数值积分 $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx$ 的近似值也为 $0.785398$，结果一致。