设函数 $f(x)=\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)\left(\mathrm{e}^{2 x}-2\right) \cdots\left(\mathrm{e}^{n x}-n\right)$ ，其中 $n$ 为正整数，则 $f^{\prime}(0)$
设 $a_{n}\gt 0(n=1,2, \cdots), S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$ ，则数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 有界是数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛的
设 $I_{k}=\displaystyle\int_{0}^{k \pi} \mathrm{e}^{x^{2}} \sin x \mathrm{~d} x(k=1,2,3)$ ，则有 $(\mathrm{C}) I_{2}\lt I_{3}\lt I_{1}$.
设函数 $f(x, y)$ 可微，且对任意的 $x, y$ 都有 $\displaystyle\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}\gt 0, \displaystyle\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}\lt 0$ ，则使不等式 $f\left(x_{1}, y_{1}\right)\lt f\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 成立的一个充分条件是
设区域 $D$ 由曲线 $y=\sin x, x= \pm \displaystyle\frac{\pi}{2}, y=1$ 围成，则 $\iint_{D}\left(x y^{5}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ c_{1}\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ c_{2}\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_{3}\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{4}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_{4}\end{array}\right)$ ，其中 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的为
设 $\boldsymbol{A}$ 为3阶矩阵， $\boldsymbol{P}$ 为3阶可逆矩阵，且 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ 。若 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$ ， $\boldsymbol{Q}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$ ，则 $\boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=$
设 $y=y(x)$ 是由方程 $x^{2}-y+1=\mathrm{e}^{y}$ 所确定的隐函数，则 $\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{x=0}=$ $\_\_\_\_$ ．
$\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\displaystyle\frac{1}{1+n^{2}}+\displaystyle\frac{1}{2^{2}+n^{2}}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{n^{2}+n^{2}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $z=f\left(\ln x+\displaystyle\frac{1}{y}\right)$ ，其中函数 $f(u)$ 可微，则 $x \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}+y^{2} \displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=$ $\_\_\_\_$ ．
微分方程 $y \mathrm{~d} x+\left(x-3 y^{2}\right) \mathrm{d} y=0$ 满足条件 $\left.y\right|_{x=1}=1$ 的解为 $y=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵，$|\boldsymbol{A}|=3, ~ \boldsymbol{A}^{*}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，若交换 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 行与第 2 行得矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，则 $\left|\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{*}\right|=$
已知函数 $f(x)=\displaystyle\frac{1+x}{\sin x}-\displaystyle\frac{1}{x}$ ，记 $a=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ ． （I）求 $a$ 的值； （II）若当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)-a$ 与 $x^{k}$ 是同阶无穷小量，求常数 $k$ 的值．
过点 $(0,1)$ 作曲线 $L: y=\ln x$ 的切线，切点为 $A$ ，又 $L$ 与 $x$ 轴交于 $B$ 点，区域 $D$ 由 $L$ 与直线 $A B$围成。求区域 $D$ 的面积及 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。
计算二重积分 $\iint_{D} x y \mathrm{~d} \sigma$ ，其中区域 $D$ 由曲线 $r=1+\cos \theta(0 \leqslant \theta \leqslant \pi)$ 与极轴围成。
已知函数 $f(x)$ 满足方程 $f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)-2 f(x)=0$ 及 $f^{\prime \prime}(x)+f(x)=2 \mathrm{e}^{x}$ ． （I）求 $f(x)$ 的表达式； （II）求曲线 $y=f\left(x^{2}\right) \displaystyle\int_{0}^{x} f\left(-t^{2}\right) \mathrm{d} t$ 的拐点。
证明：$x \ln \displaystyle\frac{1+x}{1-x}+\cos x \geqslant 1+\displaystyle\frac{x^{2}}{2}(-1\lt x\lt 1)$ ．
（I）证明方程 $x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x=1$（ $n$ 为大于 1 的整数）在区间 $\left(\displaystyle\frac{1}{2}, 1\right)$ 内有且仅有一个实根； （II）记（I）中的实根为 $x_{n}$ ，证明 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限。
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{llll}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ ． （I）计算行列式 $|\boldsymbol{A}|$ ； （II）当实数 $a$ 为何值时，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 有无穷多解，并求其通解。
已知 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & a & -1\end{array}\right)$ ，二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right) \boldsymbol{x}$ 的秩为 2 ． （I）求实数 $a$ 的值； （II）求正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 将 $f$ 化为标准形．