2012年考研数学二第14题

已知矩阵 $A$ 为三阶矩阵，且 $|A| = 3$。矩阵 $B$ 是由矩阵 $A$ 交换第1行与第2行得到的，即 $B = E_{12}A$，其中 $E_{12}$ 是交换两行的初等矩阵。根据行列式的性质：交换矩阵的两行，行列式变号。因此，有 $$|B| = -|A| = -3.$$ 这里不需要进行具体的矩阵元素计算，直接利用行列式的性质即可得到结果。所以，矩阵 $B$ 的行列式为 $-3$。

已知矩阵 $A$ 为三阶矩阵，且由第一步已求得 $|A| = 3$。 对于 $n$ 阶方阵 $A$，其伴随矩阵 $A^*$ 的行列式与 $A$ 的行列式之间有重要关系： $$|A^*| = |A|^{n-1}$$ 此公式的推导基于 $A A^* = |A| E$，两边取行列式得 $|A| \cdot |A^*| = |A|^n$。当 $|A| \neq 0$ 时，两边同除以 $|A|$ 即得 $|A^*| = |A|^{n-1}$。 本题中 $n = 3$，$|A| = 3$，代入公式： $$|A^*| = 3^{3-1} = 3^2 = 9$$ 因此，伴随矩阵 $A^*$ 的行列式为 $9$。

本步骤的目标是计算行列式 $|B A^*|$。根据行列式的乘法性质，对于两个同阶方阵 $B$ 和 $A^*$，有 $|B A^*| = |B| \cdot |A^*|$。 首先，由步骤1已知 $|B| = -3$。由步骤2已知 $|A^*| = 9$。因此，直接代入乘法公式得： $$|B A^*| = |B| \cdot |A^*| = (-3) \times 9 = -27.$$ 最终答案为 $-27$。 验证：由于 $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，且 $A$ 为3阶方阵，故 $|A^*| = |A|^{3-1} = |A|^2$。由步骤1知 $|A| = 3$，故 $|A^*| = 3^2 = 9$，与步骤2一致。代入后结果正确。