💡 答案解析
（I ）$a=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left(\displaystyle\frac{1+x}{\sin x}-\displaystyle\frac{1}{x}\right)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left(\displaystyle\frac{1}{\sin x}-\displaystyle\frac{1}{x}\right)+\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{x}{\sin x}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{x-\sin x}{x \sin x}+1$
$$
=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^{2}}+1=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{2 x}+1=1 .
$$
（II）$f(x)-a=\displaystyle\frac{1+x}{\sin x}-\displaystyle\frac{1}{x}-1=\displaystyle\frac{x+x^{2}-\sin x-x \sin x}{x \sin x}$ ．
## 方法一 麦克劳林公式法
由 $\sin x=x-\displaystyle\frac{x^{3}}{3!}+o\left(x^{3}\right)$ ，得 $x \sin x=x^{2}-\displaystyle\frac{x^{4}}{3!}+o\left(x^{4}\right)$ ，
从而 $x+x^{2}-\sin x-x \sin x \sim \displaystyle\frac{x^{3}}{6}$ ，于是 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)-a}{x}=\displaystyle\frac{1}{6}$ ，故 $f(x)-a \sim \displaystyle\frac{1}{6} x$ 。
## 方法二 待定次数法
$$
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-a}{x^{k}} & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+x^{2}-\sin x-x \sin x}{x^{k+2}} \\
& =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x+1)(x-\sin x)}{x^{k+2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^{k+2}}
\end{aligned}
$$
因为 $x-\sin x$ 为三阶无穷小，所以 $k=1$ ，
于是 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)-a}{x^{k}}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{x-\sin x}{x^{3}}=\displaystyle\frac{1}{3} \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\displaystyle\frac{1}{6}$ ，
故 $f(x)-a \sim \displaystyle\frac{1}{6} x$ ．
📋 详细解题步骤
目标：写出函数表达式并分析形式
首先，根据题目所给极限，写出函数表达式：
$$
f(x) = \frac{1+x}{\sin x} - \frac{1}{x}
$$
我们需要求的是 $x \to 0$ 时 $f(x)$ 的极限。
分析函数形式：当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，因此第一项 $\frac{1+x}{\sin x} \sim \frac{1+x}{x} = \frac{1}{x} + 1$，第二项 $\frac{1}{x}$ 与第一项中的 $\frac{1}{x}$ 相减后，主要部分抵消，剩余部分趋于有限值。更精确地，将 $f(x)$ 通分：
$$
f(x) = \frac{x(1+x) - \sin x}{x \sin x}
$$
当 $x \to 0$ 时，分子 $x(1+x) - \sin x \to 0$，分母 $x \sin x \to 0$，因此该极限为 $\frac{0}{0}$ 型未定式。
为了求解该未定式，可以考虑使用泰勒展开（麦克劳林展开）将分子和分母展开为幂级数，或者使用洛必达法则。由于分母 $x \sin x$ 的展开较为简单，而分子 $x(1+x) - \sin x$ 的展开也容易得到，因此泰勒展开是首选方法。
接下来，我们将对分子和分母分别进行泰勒展开，然后化简求极限。
公式：$$f(x)=\frac{1+x}{\sin x}-\frac{1}{x}=\frac{x(1+x)-\sin x}{x\sin x}$$
提示：先通分化为标准0/0型，再考虑用泰勒展开或洛必达法则。
目标：将sinx泰勒展开
当$x \to 0$时，我们需要将$\sin x$展开为泰勒级数。泰勒展开公式为：若函数$f(x)$在$x=0$处具有任意阶导数，则$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$。对于$\sin x$，其各阶导数在$x=0$处的值为：$f(0)=0$，$f'(0)=\cos 0=1$，$f''(0)=-\sin 0=0$，$f'''(0)=-\cos 0=-1$，$f^{(4)}(0)=\sin 0=0$，$f^{(5)}(0)=\cos 0=1$，依此类推，奇数次导数为$(-1)^k$，偶数次导数为0。因此，$\sin x$的泰勒展开为：
$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$
由于我们只需要到$x^3$项（因为后续步骤中分母为$x^3$，更高阶项在极限中贡献为0），故取前两项并加上高阶无穷小：
$$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$$
这里$O(x^5)$表示当$x \to 0$时，余项是$x^5$的高阶无穷小。该展开在$x=0$附近精确描述了$\sin x$的行为，是后续极限计算的基础。
公式：$$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$$
提示：记住sinx是奇函数，展开只有奇次项，且系数正负交替。
目标：展开第一项(1+x)/sinx
本步骤的目标是将表达式 $\frac{1+x}{\sin x}$ 展开为 $x$ 的幂级数形式，以便后续进行极限计算。首先，我们需要将 $\frac{1}{\sin x}$ 在 $x=0$ 附近展开。已知 $\sin x$ 的麦克劳林展开式为 $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$。因此，$\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)}$。利用几何级数公式 $\frac{1}{1-u} = 1 + u + u^2 + \cdots$，其中 $u = \frac{x^2}{6} + O(x^4)$，可得 $\frac{1}{1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)} = 1 + \frac{x^2}{6} + O(x^4)$。因此，$\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x} \left(1 + \frac{x^2}{6} + O(x^4)\right) = \frac{1}{x} + \frac{x}{6} + O(x^3)$。接下来，将 $(1+x)$ 乘以上述展开式：$(1+x)\left(\frac{1}{x} + \frac{x}{6} + O(x^3)\right) = \frac{1}{x} + \frac{x}{6} + 1 + \frac{x^2}{6} + O(x^3)$。合并同类项，得到 $\frac{1+x}{\sin x} = \frac{1}{x} + 1 + \frac{x}{6} + \frac{x^2}{6} + O(x^3)$。注意，这里 $O(x^3)$ 表示所有次数不低于3的项，在后续极限计算中当 $x \to 0$ 时这些项趋于0。
公式：$$\frac{1+x}{\sin x} = \frac{1}{x} + 1 + \frac{x}{6} + \frac{x^2}{6} + O(x^3)$$
提示：先展开 $\frac{1}{\sin x}$ 再乘以 $(1+x)$，注意保留到足够高阶的项。
目标：计算f(x)的展开式并求极限a
由前一步已得到函数 $f(x) = \frac{1}{x} + 1 + \frac{x}{6} + \frac{x^2}{6} + O(x^3) - \frac{1}{x}$。将两项中的 $\frac{1}{x}$ 抵消，得到 $f(x) = 1 + \frac{x}{6} + \frac{x^2}{6} + O(x^3)$。这里 $O(x^3)$ 表示当 $x \to 0$ 时，剩余项是 $x^3$ 的高阶无穷小。因此，当 $x \to 0$ 时，$f(x)$ 的极限就是其展开式中的常数项，即 $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$。所以极限 $a = 1$。
公式：$$f(x) = 1 + \frac{x}{6} + \frac{x^2}{6} + O(x^3), \quad a = \lim_{x \to 0} f(x) = 1$$
提示：展开后直接看常数项即为极限，注意高阶项不影响极限值。
目标：写出f(x)-a的展开式
由前一步已知 $a=1$，且已得到 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为：
$$f(x)=1+\frac{x}{6}+\frac{x^2}{6}+O(x^3).$$
因此，$f(x)-a = f(x)-1$，直接代入展开式得：
$$f(x)-1 = \left(1+\frac{x}{6}+\frac{x^2}{6}+O(x^3)\right)-1 = \frac{x}{6}+\frac{x^2}{6}+O(x^3).$$
这里 $O(x^3)$ 表示当 $x\to0$ 时，余项为 $x^3$ 的高阶无穷小。该展开式表明 $f(x)-1$ 的最低次项为一次项，系数为 $\frac{1}{6}$，二次项系数也为 $\frac{1}{6}$。这一结果将用于下一步求极限 $\lim_{x\to0}\frac{f(x)-1}{x}$。
公式：$$f(x)-1 = \frac{x}{6}+\frac{x^2}{6}+O(x^3)$$
提示：直接代入展开式并合并同类项，注意保留高阶项符号。
目标：确定最低次项及阶数k
在前几步中，我们已经将原函数展开为麦克劳林级数，并合并了所有项。得到的展开式为：
$$
f(x) = \frac{x}{6} - \frac{x^3}{36} + \frac{x^5}{240} + O(x^7)
$$
现在需要确定展开式中的最低次项及其阶数。观察展开式，第一项为 $\frac{x}{6}$，该项中 $x$ 的指数为1，因此最低次项是 $\frac{x}{6}$，对应的阶数为1。
题目要求找出与 $x^k$ 同阶时的 $k$ 值。由于最低次项是 $x$ 的一次项，所以当 $x \to 0$ 时，$f(x)$ 与 $x$ 同阶，即 $k=1$。
验证：当 $x$ 趋近于0时，$f(x) \sim \frac{x}{6}$，因此 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{6}$，为非零常数，说明 $f(x)$ 与 $x$ 同阶，阶数 $k=1$ 正确。
最终答案：$k=1$。
公式：f(x) = \frac{x}{6} - \frac{x^3}{36} + \frac{x^5}{240} + O(x^7)
提示：最低次项即展开式中指数最小的非零项，直接决定无穷小的阶数。