2012年考研数学二第13题

已知函数 $y = x^2 + x$，我们需要求其一阶导数 $y'$ 和二阶导数 $y''$。 首先，根据幂函数求导公式 $(x^n)' = n x^{n-1}$ 和常数倍求导法则，对每一项分别求导： - 对于 $x^2$，其导数为 $2x^{2-1} = 2x$； - 对于 $x$，其导数为 $1 \cdot x^{1-1} = 1$。 因此，一阶导数为： $$ y' = (x^2)' + (x)' = 2x + 1. $$ 接下来，对一阶导数 $y' = 2x + 1$ 再次求导得到二阶导数。 - 对于 $2x$，其导数为 $2$； - 对于常数 $1$，其导数为 $0$。 因此，二阶导数为： $$ y'' = (2x)' + (1)' = 2 + 0 = 2. $$ 综上，我们得到 $y' = 2x + 1$，$y'' = 2$。

首先，曲率公式为 $K = \frac{|y''|}{(1+(y')^2)^{3/2}}$。已知曲线 $y = x^2 + x$，其一阶导数 $y' = 2x + 1$，二阶导数 $y'' = 2$。将 $y'$ 和 $y''$ 代入曲率公式，得： $$K = \frac{|2|}{(1+(2x+1)^2)^{3/2}} = \frac{2}{(1+(2x+1)^2)^{3/2}}.$$ 根据题目条件，曲率 $K = \frac{\sqrt{2}}{2}$，因此得到方程： $$\frac{2}{(1+(2x+1)^2)^{3/2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$ 这就是本步骤需要建立的方程，下一步将解此方程求出 $x$。

本步骤的目标是解方程求出$x$的值。已知方程为： $$ \frac{2}{(1+(2x+1)^2)^{3/2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ 首先，两边取倒数，得到： $$ \frac{(1+(2x+1)^2)^{3/2}}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} $$ 化简右边：$\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，所以： $$ \frac{(1+(2x+1)^2)^{3/2}}{2} = \sqrt{2} $$ 两边同时乘以2： $$ (1+(2x+1)^2)^{3/2} = 2\sqrt{2} $$ 注意到$2\sqrt{2} = \sqrt{8} = 8^{1/2}$，但更直接的方法是将两边同时取$\frac{2}{3}$次幂，或者将两边平方后再开立方。这里采用两边平方的方法： $$ \left[(1+(2x+1)^2)^{3/2}\right]^2 = (2\sqrt{2})^2 $$ 即： $$ (1+(2x+1)^2)^3 = 4 \times 2 = 8 $$ 两边开立方： $$ 1+(2x+1)^2 = \sqrt[3]{8} = 2 $$ 移项得： $$ (2x+1)^2 = 2 - 1 = 1 $$ 因此： $$ 2x+1 = \pm 1 $$ 分两种情况： - 当$2x+1 = 1$时，$2x = 0$，解得$x = 0$； - 当$2x+1 = -1$时，$2x = -2$，解得$x = -1$。 所以方程的解为$x = 0$或$x = -1$。

由题目条件可知，自变量$x$必须满足定义域要求。题目明确给出$x<0$，因此所有满足条件的$x$必须为负数。在之前步骤中，我们通过方程求解得到了可能的解：$x=0$和$x=-1$。现在需要根据定义域$x<0$进行筛选。 首先检查$x=0$：由于$x=0$不满足$x<0$（$0$不小于$0$），因此$x=0$应被舍去。 接着检查$x=-1$：$-1<0$，满足定义域要求，因此$x=-1$是符合题意的解。 所以，经过定义域筛选后，最终取$x=-1$。

本步骤的目标是求出曲线上对应 $x = -1$ 的纵坐标 $y$。已知曲线方程为 $y = x^2 + x$，且已在前序步骤中确定 $x = -1$ 是满足导数为零的点。将 $x = -1$ 代入曲线方程： $$y = (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0$$ 因此，曲线上对应点的坐标为 $(-1, 0)$。 至此，我们完成了全部求解过程。回顾整个问题：求曲线 $y = x^2 + x$ 上切线平行于 $x$ 轴的点。切线平行于 $x$ 轴意味着切线斜率为 $0$，即导数为零。曲线导数 $y' = 2x + 1$，令 $2x + 1 = 0$ 解得 $x = -\frac{1}{2}$。但本题中通过其他条件（如题目中隐含的对称性或其他已知点）得出 $x = -1$，并最终得到点 $(-1, 0)$。验证：在点 $(-1, 0)$ 处，导数 $y' = 2(-1) + 1 = -1$，并不为零，因此该点处的切线斜率为 $-1$，并非平行于 $x$ 轴。这说明本题的求解过程可能基于不同的前提条件（例如题目中可能要求的是过某点的切线或法线等）。但根据当前步骤目标，我们仅需完成代入计算，得到 $y = 0$，最终答案为点 $(-1, 0)$。