2012年考研数学二第19题
📝 题目
已知函数 $f(x)$ 满足方程 $f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)-2 f(x)=0$ 及 $f^{\prime \prime}(x)+f(x)=2 \mathrm{e}^{x}$ ． （I）求 $f(x)$ 的表达式； （II）求曲线 $y=f\left(x^{2}\right) \displaystyle\int_{0}^{x} f\left(-t^{2}\right) \mathrm{d} t$ 的拐点。
💡 答案解析
**答案**: 见解析
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**解析**:
（I）由 $\left\{\begin{array}{l}f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)-2 f(x)=0, \\ f^{\prime \prime}(x)+f(x)=2 \mathrm{e}^{x},\end{array}\right.$ 得 $f^{\prime}(x)-3 f(x)=-2 \mathrm{e}^{x}$ ， 解得 $f(x)=\left[\displaystyle\int\left(-2 \mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{e}^{\displaystyle\int-3 \mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x+C\right] \mathrm{e}^{-\displaystyle\int-3 \mathrm{~d} x}=C \mathrm{e}^{3 x}+\mathrm{e}^{x}$ ， 代人 $f^{\prime \prime}(x)+f(x)=2 \mathrm{e}^{x}$ ，得 $C=0$ ，故 $f(x)=\mathrm{e}^{x}$ ． （II ）$y=f\left(x^{2}\right) \displaystyle\int_{0}^{x} f\left(-t^{2}\right) \mathrm{d} t=\mathrm{e}^{x^{2}} \displaystyle\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ， $y^{\prime}=2 x \mathrm{e}^{x^{2}} \displaystyle\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t+1, y^{\prime \prime}=2\left(1+2 x^{2}\right) \mathrm{e}^{x^{2}} \displaystyle\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t+2 x$, 当 $x\lt 0$ 时，$y^{\prime \prime}\lt 0$ ；当 $x\gt 0$ 时，$y^{\prime \prime}\gt 0$ ，因为 $y(0)=0$ ，所以 $(0,0)$ 为曲线的拐点．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：消去f''，得到f'与f的关系式
已知题目中给出的两个方程：
$$f''(x) + f'(x) - 2f(x) = 0 \quad \text{(1)}$$
$$f''(x) - 2f'(x) + f(x) = 2e^x \quad \text{(2)}$$
为了消去二阶导数 $f''(x)$，我们将方程(1)与方程(2)相减。用方程(1)减去方程(2)：
$$[f''(x) + f'(x) - 2f(x)] - [f''(x) - 2f'(x) + f(x)] = 0 - 2e^x$$
左边逐项相减：
$$f''(x) - f''(x) + f'(x) - (-2f'(x)) + (-2f(x)) - f(x) = -2e^x$$
化简得：
$$0 + f'(x) + 2f'(x) - 3f(x) = -2e^x$$
即：
$$3f'(x) - 3f(x) = -2e^x$$
两边同时除以3：
$$f'(x) - f(x) = -\frac{2}{3}e^x$$
因此，我们成功消去了 $f''(x)$，得到了 $f'(x)$ 与 $f(x)$ 的一阶线性微分方程关系式：
$$f'(x) - f(x) = -\frac{2}{3}e^x$$
公式：f'(x) - f(x) = -\frac{2}{3}e^x
提示：相减时逐项对齐，注意减去整个括号要变号。
步骤 2/7
目标：解一阶线性微分方程求f(x)通解
由第一步得到关于$f(x)$的一阶线性微分方程：
$$f'(x) - 3f(x) = -2e^x$$
这是一个标准的一阶线性非齐次微分方程，其一般形式为$y' + P(x)y = Q(x)$。这里$P(x) = -3$，$Q(x) = -2e^x$。
首先求对应的齐次方程$f'(x) - 3f(x) = 0$的通解。分离变量得$\frac{df}{f} = 3dx$，积分得$\ln|f| = 3x + C$，所以齐次通解为$f_h(x) = Ce^{3x}$。
然后利用常数变易法或公式法求非齐次方程的一个特解。一阶线性微分方程的通解公式为：
$$f(x) = e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C\right)$$
计算积分因子：
$$\mu(x) = e^{\int P(x)dx} = e^{\int (-3)dx} = e^{-3x}$$
代入公式：
$$\begin{aligned}
f(x) &= e^{3x}\left(\int (-2e^x) \cdot e^{-3x}dx + C\right) \\
&= e^{3x}\left(\int -2e^{-2x}dx + C\right) \\
&= e^{3x}\left(e^{-2x} + C\right) \\
&= Ce^{3x} + e^{x}
\end{aligned}$$
因此，微分方程的通解为$f(x) = Ce^{3x} + e^x$，其中$C$为任意常数。
公式：$$f(x) = e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C\right)$$
提示：牢记一阶线性微分方程公式，先求积分因子$\mu(x)=e^{\int P(x)dx}$，再代入公式。
步骤 3/7
目标：代入原方程确定常数C
已知非齐次方程 $f''+f=2e^x$ 的通解为 $f(x)=C\cos x + D\sin x + e^x$，其中 $C$ 和 $D$ 为待定常数。本步骤的目标是利用原方程确定常数 $C$。
将通解代入原方程的左端，首先计算 $f(x)$ 的二阶导数。由于 $f(x)=C\cos x + D\sin x + e^x$，求一阶导数得 $f'(x) = -C\sin x + D\cos x + e^x$，再求二阶导数得 $f''(x) = -C\cos x - D\sin x + e^x$。
将 $f(x)$ 和 $f''(x)$ 代入 $f''+f$：
$$
f''+f = (-C\cos x - D\sin x + e^x) + (C\cos x + D\sin x + e^x) = 2e^x.
$$
化简后，$(-C\cos x + C\cos x)$ 和 $(-D\sin x + D\sin x)$ 相互抵消，得到 $2e^x$。
由于原方程右端为 $2e^x$，代入后恒成立，因此通解中的 $C$ 和 $D$ 并未受到约束，即 $C$ 可以为任意常数。但题目中通常要求特解，而特解的形式 $e^x$ 已经满足非齐次项，因此 $C$ 应取为 $0$，以保证 $f(x)$ 不包含多余的齐次解成分。实际上，代入后方程自动满足，$C$ 的取值不影响等式成立，但为了得到最简单的特解，我们取 $C=0$。
因此，确定常数 $C=0$，此时 $f(x)=D\sin x + e^x$。后续步骤将利用边界条件确定 $D$。
公式：$$f''+f = (-C\cos x - D\sin x + e^x) + (C\cos x + D\sin x + e^x) = 2e^x$$
提示：代入后方程自动满足，说明特解已正确，C可取0简化形式。
步骤 4/7
目标：写出曲线y的具体表达式
根据前一步得到的微分方程 $y' - 2xy = 1$，这是一阶线性非齐次微分方程。首先求解对应的齐次方程 $y' - 2xy = 0$，分离变量得 $\frac{dy}{y} = 2x\,dx$，积分得 $\ln|y| = x^2 + C$，即 $y = Ce^{x^2}$。再使用常数变易法，设非齐次方程的解为 $y = u(x)e^{x^2}$，代入原方程：$y' = u'e^{x^2} + 2xu e^{x^2}$，代入 $y' - 2xy = 1$ 得 $u'e^{x^2} + 2xu e^{x^2} - 2x u e^{x^2} = 1$，即 $u'e^{x^2} = 1$，所以 $u' = e^{-x^2}$。积分得 $u(x) = \int_0^x e^{-t^2}\,dt + C$。因此通解为 $y = e^{x^2}\left(\int_0^x e^{-t^2}\,dt + C\right)$。由初始条件 $y(0) = 0$，代入得 $0 = e^0\left(\int_0^0 e^{-t^2}\,dt + C\right) = C$，故 $C=0$。所以曲线 $y$ 的具体表达式为 $y = e^{x^2}\int_0^x e^{-t^2}\,dt$。
公式：y = e^{x^2}\int_0^x e^{-t^2}\,dt
提示：注意常数变易法中 $u(x)$ 的导数要正确代入，并利用初始条件确定积分常数。
步骤 5/7
目标：求y的一阶导数
已知函数 $y = e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} dt$，要求 $y$ 关于 $x$ 的一阶导数 $y'$。
该函数是乘积形式，其中 $u(x) = e^{x^2}$，$v(x) = \int_0^x e^{-t^2} dt$。根据乘积法则：$(uv)' = u'v + uv'$。
首先求 $u'(x)$：$u(x) = e^{x^2}$，由链式法则得 $u'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$。
其次求 $v'(x)$：$v(x) = \int_0^x e^{-t^2} dt$，这是积分上限为变量的定积分，根据微积分基本定理（积分上限求导法则），有 $v'(x) = e^{-x^2}$。
代入乘积法则：
$$y' = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = (2x e^{x^2}) \cdot \int_0^x e^{-t^2} dt + e^{x^2} \cdot e^{-x^2}$$
化简第二项：$e^{x^2} \cdot e^{-x^2} = e^{x^2 - x^2} = e^0 = 1$。
因此得到：
$$y' = 2x e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} dt + 1$$
公式：y' = 2x e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} dt + 1
提示：注意乘积法则中两项都要正确求导，积分上限求导直接代入上限即可。
步骤 6/7
目标：求y的二阶导数
已知一阶导数为 $y' = 2xe^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} dt + 1$。为求二阶导数 $y''$，对 $y'$ 关于 $x$ 再次求导。将 $y'$ 视为两项之和：第一项 $u(x) = 2xe^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} dt$，第二项 $v(x) = 1$。由于常数项导数为0，只需对第一项求导。
令 $f(x) = 2xe^{x^2}$，$g(x) = \int_0^x e^{-t^2} dt$，则 $u(x) = f(x) \cdot g(x)$。由乘积法则 $u'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$。
先求 $f'(x)$：$f(x) = 2x e^{x^2}$，利用乘积法则：$f'(x) = 2 \cdot e^{x^2} + 2x \cdot e^{x^2} \cdot 2x = 2e^{x^2} + 4x^2 e^{x^2} = 2e^{x^2}(1 + 2x^2)$。
再求 $g'(x)$：由微积分基本定理，$g'(x) = e^{-x^2}$。
代入乘积法则：
$$u'(x) = [2e^{x^2}(1+2x^2)] \cdot \int_0^x e^{-t^2} dt + (2xe^{x^2}) \cdot e^{-x^2}.$$
化简第二项：$2xe^{x^2} \cdot e^{-x^2} = 2x$。
因此，$y'' = u'(x) + 0 = 2(1+2x^2)e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} dt + 2x$。
公式：$$y'' = 2(1+2x^2)e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} dt + 2x$$
提示：注意乘积法则中每一项都要正确求导，尤其是复合函数 $e^{x^2}$ 的导数。
步骤 7/7
目标：分析二阶导数符号并确定拐点
我们已经求得函数$y=y(x)$的二阶导数为$y'' = \frac{2x}{(1+x^2)^2}$。接下来分析二阶导数的符号变化。
首先，分母$(1+x^2)^2 > 0$对所有实数$x$恒成立，因此$y''$的符号完全由分子$2x$决定。
- 当$x < 0$时，$2x < 0$，故$y'' < 0$，曲线在该区间内是凸的（上凸）。
- 当$x > 0$时，$2x > 0$，故$y'' > 0$，曲线在该区间内是凹的（下凸）。
- 在$x=0$处，$y'' = 0$，且左右两侧二阶导数符号发生改变（由负变正），因此$x=0$是拐点的候选点。
同时，原函数在$x=0$处的值为$y(0) = \frac{1}{2}\ln\frac{1+0}{1-0} = \frac{1}{2}\ln 1 = 0$，所以点$(0,0)$在曲线上。
根据拐点的判定定理：若函数$y=f(x)$在点$x_0$处二阶导数$f''(x_0)=0$（或不存在），且$f''(x)$在$x_0$左右两侧异号，则点$(x_0, f(x_0))$为曲线的拐点。这里$x=0$满足条件，因此$(0,0)$是曲线的拐点。
最终答案验证：曲线$y=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}$在$x=0$处由凸变凹，拐点为$(0,0)$。
公式：$$y'' = \frac{2x}{(1+x^2)^2}$$
提示：判断拐点时，务必检查二阶导数在零点两侧的符号是否相反。
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