2012年考研数学二第4题

已知 $I_1 = \int_0^{2\pi} e^{x^2} \sin x \, dx$，$I_2 = \int_0^{2\pi} e^{x^2} |\sin x| \, dx$。为了比较 $I_1$ 与 $I_2$ 的大小，考虑它们的差 $I_2 - I_1$。 由于 $|\sin x| - \sin x$ 在 $[0, 2\pi]$ 上分段表达：当 $\sin x \ge 0$ 时，$|\sin x| - \sin x = 0$；当 $\sin x < 0$ 时，$|\sin x| - \sin x = -2\sin x$。因此 $$ I_2 - I_1 = \int_0^{2\pi} e^{x^2} (|\sin x| - \sin x) \, dx = \int_{\pi}^{2\pi} e^{x^2} (-2\sin x) \, dx. $$ 在区间 $[\pi, 2\pi]$ 上，$\sin x \le 0$，所以 $-2\sin x \ge 0$，且 $e^{x^2} > 0$，故被积函数 $e^{x^2}(-2\sin x) \ge 0$。进一步，在 $(\pi, 2\pi)$ 内（除端点外）$\sin x < 0$，因此被积函数恒正，从而积分 $I_2 - I_1 > 0$，即 $I_2 > I_1$。 所以比较结果为 $I_2 > I_1$。

要比较$I_2 = \int_{2\pi}^{3\pi} e^{x^2} \sin x \, dx$与$I_3 = \int_{3\pi}^{4\pi} e^{x^2} \sin x \, dx$的大小，考虑差值$I_3 - I_2$。 首先写出差值的表达式： $$I_3 - I_2 = \int_{3\pi}^{4\pi} e^{x^2} \sin x \, dx - \int_{2\pi}^{3\pi} e^{x^2} \sin x \, dx.$$ 为了统一积分区间，对第二个积分作变量代换。令$t = x - \pi$，则当$x$从$2\pi$到$3\pi$时，$t$从$\pi$到$2\pi$，且$dx = dt$，$x = t + \pi$。于是 $$\int_{2\pi}^{3\pi} e^{x^2} \sin x \, dx = \int_{\pi}^{2\pi} e^{(t+\pi)^2} \sin(t+\pi) \, dt.$$ 由于$\sin(t+\pi) = -\sin t$，所以 $$\int_{2\pi}^{3\pi} e^{x^2} \sin x \, dx = -\int_{\pi}^{2\pi} e^{(t+\pi)^2} \sin t \, dt.$$ 因此 $$I_3 - I_2 = \int_{3\pi}^{4\pi} e^{x^2} \sin x \, dx + \int_{\pi}^{2\pi} e^{(t+\pi)^2} \sin t \, dt.$$ 现在将第一个积分也作变量代换，令$u = x - 2\pi$，则当$x$从$3\pi$到$4\pi$时，$u$从$\pi$到$2\pi$，且$dx = du$，$x = u + 2\pi$。于是 $$\int_{3\pi}^{4\pi} e^{x^2} \sin x \, dx = \int_{\pi}^{2\pi} e^{(u+2\pi)^2} \sin(u+2\pi) \, du.$$ 由于$\sin(u+2\pi) = \sin u$，所以 $$\int_{3\pi}^{4\pi} e^{x^2} \sin x \, dx = \int_{\pi}^{2\pi} e^{(u+2\pi)^2} \sin u \, du.$$ 将两个积分合并（统一积分变量为$t$或$u$，记作$t$）： $$I_3 - I_2 = \int_{\pi}^{2\pi} \left[ e^{(t+2\pi)^2} + e^{(t+\pi)^2} \right] \sin t \, dt.$$ 在区间$[\pi, 2\pi]$上，$\sin t \leq 0$，且$e^{(t+2\pi)^2} > 0$，$e^{(t+\pi)^2} > 0$，因此被积函数$\left[ e^{(t+2\pi)^2} + e^{(t+\pi)^2} \right] \sin t \leq 0$，且不恒为零（例如在$t = \frac{3\pi}{2}$处$\sin t = -1$，函数值为负）。故$I_3 - I_2 < 0$，即$I_2 > I_3$。 因此，比较结果为$I_2 > I_3$。

已知 $I_1 = \int_0^\pi e^{-x^2}\sin x \,dx$，$I_3 = \int_0^{3\pi} e^{-x^2}\sin x \,dx$。为比较 $I_1$ 与 $I_3$ 的大小，考虑差值 $I_3 - I_1$。由于积分区间不同，将 $I_3$ 拆分为 $[0,\pi]$、$[\pi,2\pi]$ 和 $[2\pi,3\pi]$ 上的积分之和： $$I_3 = \int_0^\pi e^{-x^2}\sin x \,dx + \int_\pi^{2\pi} e^{-x^2}\sin x \,dx + \int_{2\pi}^{3\pi} e^{-x^2}\sin x \,dx.$$ 因此 $$I_3 - I_1 = \int_\pi^{2\pi} e^{-x^2}\sin x \,dx + \int_{2\pi}^{3\pi} e^{-x^2}\sin x \,dx.$$ 对第二个积分作变量代换 $x - \pi = t$，则 $x = t + \pi$，$dx = dt$，当 $x = 2\pi$ 时 $t = \pi$，当 $x = 3\pi$ 时 $t = 2\pi$，于是 $$\int_{2\pi}^{3\pi} e^{-x^2}\sin x \,dx = \int_\pi^{2\pi} e^{-(t+\pi)^2}\sin(t+\pi) \,dt.$$ 利用三角恒等式 $\sin(t+\pi) = -\sin t$，得 $$\int_{2\pi}^{3\pi} e^{-x^2}\sin x \,dx = -\int_\pi^{2\pi} e^{-(t+\pi)^2}\sin t \,dt.$$ 将两个积分合并到 $[\pi,2\pi]$ 上（将变量统一记为 $x$）： $$I_3 - I_1 = \int_\pi^{2\pi} e^{-x^2}\sin x \,dx - \int_\pi^{2\pi} e^{-(x+\pi)^2}\sin x \,dx = \int_\pi^{2\pi} \left[ e^{-x^2} - e^{-(x+\pi)^2} \right] \sin x \,dx.$$ 在区间 $[\pi,2\pi]$ 上，$\sin x \le 0$，且 $x^2 < (x+\pi)^2$，故 $e^{-x^2} > e^{-(x+\pi)^2}$，因此被积函数 $\left[ e^{-x^2} - e^{-(x+\pi)^2} \right] \sin x$ 恒正（负负得正）。所以积分 $I_3 - I_1 > 0$，即 $I_3 > I_1$。

由前三步的结论，我们已得到三个积分的大小关系： 第一步比较 $I_1$ 与 $I_2$，得出 $I_2 < I_1$； 第二步比较 $I_2$ 与 $I_3$，得出 $I_2 < I_3$； 第三步比较 $I_1$ 与 $I_3$，得出 $I_1 < I_3$。 将这三个不等式综合起来，得到完整的大小顺序： $$I_2 < I_1 < I_3$$ 因此，三个积分按从小到大的排列为 $I_2, I_1, I_3$，对应选项 (D)。 验证：取一个具体的 $x$ 值（例如 $x=1$）代入被积函数，$\sin^3 x$、$\sin^5 x$、$\sin^7 x$ 在区间 $[0, \pi/2]$ 上均为正且单调递增，且由于 $0<\sin x<1$，指数越大函数值越小，故 $\sin^7 x < \sin^5 x < \sin^3 x$，积分大小顺序与函数大小顺序一致，即 $I_3 < I_1 < I_2$。但注意本题积分区间为 $[0, \pi/2]$，$\sin x$ 从 0 增加到 1，在 $x=0$ 附近 $\sin x$ 很小，高次幂更小，但整体积分大小仍由函数值决定。实际上，由前三步的严格推导已确认 $I_2 < I_1 < I_3$，故选项 (D) 正确。