💡 答案解析
**答案**: 见解析
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**解析**:
设切点为 $A(a, \ln a)$ ，
由 $\displaystyle\frac{1}{a}=\displaystyle\frac{\ln a-1}{a}$ 得 $a=\mathrm{e}^{2}$ ，切点为 $\left(\mathrm{e}^{2}, 2\right)$ ，
切线方程为 $y-1=\displaystyle\frac{x}{\mathrm{e}^{2}}$ ，即 $y=\displaystyle\frac{x}{\mathrm{e}^{2}}+1$ ．
直线 $A B: y=\displaystyle\frac{2}{\mathrm{e}^{2}-1}(x-1)$ ，
区域 $D$ 的面积为
$S=\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}^{2}} \ln x \mathrm{~d} x-\displaystyle\frac{1}{2} \times 2 \times\left(\mathrm{e}^{2}-1\right)=2$ 。
三（17）题图
所求体积为
$V=\pi \displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}^{2}} \ln ^{2} x \mathrm{~d} x-\displaystyle\frac{\pi}{3} \times 4 \times\left(\mathrm{e}^{2}-1\right)=\displaystyle\frac{2 \pi}{3}\left(\mathrm{e}^{2}-1\right)$ ．
📋 详细解题步骤
目标：求切点坐标
设切点为$A(a, \ln a)$，其中$a>0$。由$y=\ln x$的导数$y'=\frac{1}{x}$，可知在点$A$处的切线斜率为$k=\frac{1}{a}$。切线方程为：$$y-\ln a = \frac{1}{a}(x-a)$$ 由于切线过点$(0,1)$，代入得：$$1-\ln a = \frac{1}{a}(0-a) = -1$$ 整理得：$$1-\ln a = -1 \quad \Rightarrow \quad \ln a = 2$$ 解得$a=e^2$。代入$\ln a$得纵坐标$\ln(e^2)=2$，因此切点坐标为$A(e^2,2)$。
公式：$$1-\ln a = -1 \quad \Rightarrow \quad \ln a = 2 \quad \Rightarrow \quad a=e^2$$
提示：利用切线过定点列方程时，注意将定点坐标代入切线方程，并正确化简符号。
目标：求切线方程
已知切点坐标为$(0,1)$，且由前一步骤已求得切线斜率为$k = \frac{1}{e^2}$。根据直线的点斜式方程，过点$(x_0, y_0)$且斜率为$k$的直线方程为$y - y_0 = k(x - x_0)$。将切点$(0,1)$和斜率$k = \frac{1}{e^2}$代入，得：
$$y - 1 = \frac{1}{e^2}(x - 0)$$
整理得：
$$y = \frac{1}{e^2}x + 1$$
因此，所求切线方程为$y = \frac{x}{e^2} + 1$。此方程即为步骤目标中给出的形式。
公式：$$y - 1 = \frac{1}{e^2}(x - 0) \quad \Rightarrow \quad y = \frac{x}{e^2} + 1$$
提示：点斜式方程代入时注意切点坐标的符号，斜率直接代入数值即可。
目标：求B点坐标
曲线$L$与$x$轴的交点$B$满足纵坐标$y=0$。曲线$L$的方程为$y=\ln x$，因此令$\ln x = 0$。解此方程：$\ln x = 0$，由对数函数的性质可知，$\ln 1 = 0$，所以$x=1$。因此，交点$B$的坐标为$(1,0)$。
公式：$$\ln x = 0 \Rightarrow x = 1$$
提示：注意$\ln x$的定义域为$x>0$，且$\ln 1=0$是常用结论。
目标：计算区域D的面积
区域D由曲线$y=\ln x$、直线$x=1$、$x=e^2$以及直线$AB$围成。首先计算曲线$y=\ln x$从$x=1$到$x=e^2$下方的曲边梯形面积，即定积分$\int_{1}^{e^2} \ln x \, dx$。利用分部积分法：令$u=\ln x$，$dv=dx$，则$du=\frac{1}{x}dx$，$v=x$，于是
$$\int \ln x \, dx = x\ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x\ln x - x + C.$$
代入上下限得
$$\int_{1}^{e^2} \ln x \, dx = \left[ x\ln x - x \right]_{1}^{e^2} = (e^2 \cdot 2 - e^2) - (1\cdot 0 - 1) = (2e^2 - e^2) - (0 - 1) = e^2 + 1.$$
其次，直线$AB$连接点$A(1,0)$和$B(e^2,2)$，其与$x$轴、直线$x=1$、$x=e^2$围成一个直角梯形（实为直角三角形，因为$A$在$x$轴上）。该三角形的底边长度为$e^2 - 1$，高为$2$，故三角形面积为
$$\frac{1}{2} \times (e^2 - 1) \times 2 = e^2 - 1.$$
区域D的面积$S$等于曲边梯形面积减去三角形面积：
$$S = (e^2 + 1) - (e^2 - 1) = 2.$$
因此，区域D的面积为$2$。
公式：$$S = \int_{1}^{e^2} \ln x \, dx - \frac{1}{2}(e^2 - 1)\cdot 2 = 2$$
提示：先算曲边梯形面积，再减去三角形面积，注意积分上下限对应正确。
目标：计算旋转体体积
首先，区域D由曲线$y=\ln x$、直线$x=e^2$及$x$轴围成，绕$x$轴旋转一周所得旋转体体积等于曲线$y=\ln x$在区间$[1,e^2]$上绕$x$轴旋转的旋转体体积减去一个圆锥体的体积。
曲线$y=\ln x$绕$x$轴旋转的体积微元为$\mathrm{d}V = \pi (\ln x)^2 \mathrm{d}x$，因此曲线旋转部分的体积为：
$$V_1 = \pi \int_{1}^{e^2} (\ln x)^2 \, \mathrm{d}x.$$
计算该积分：令$t=\ln x$，则$x=e^t$，$\mathrm{d}x=e^t\mathrm{d}t$，当$x=1$时$t=0$，当$x=e^2$时$t=2$，于是
$$\int_{1}^{e^2} (\ln x)^2 \mathrm{d}x = \int_{0}^{2} t^2 e^t \mathrm{d}t.$$
使用分部积分法：
$$\int t^2 e^t \mathrm{d}t = t^2 e^t - 2\int t e^t \mathrm{d}t = t^2 e^t - 2(t e^t - e^t) + C = e^t(t^2 - 2t + 2) + C.$$
代入上下限得：
$$\int_{0}^{2} t^2 e^t \mathrm{d}t = \left[ e^t(t^2 - 2t + 2) \right]_{0}^{2} = e^2(4 - 4 + 2) - e^0(0 - 0 + 2) = 2e^2 - 2 = 2(e^2 - 1).$$
因此
$$V_1 = \pi \cdot 2(e^2 - 1) = 2\pi(e^2 - 1).$$
其次，需要减去圆锥体的体积。该圆锥由直线$x=1$、$x=e^2$以及连接点$(1,0)$和$(e^2,2)$的直线段绕$x$轴旋转而成。圆锥底面半径为$2$（即$x=e^2$处$y=\ln e^2=2$），高为$e^2-1$，故圆锥体积为：
$$V_2 = \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot (e^2 - 1) = \frac{4\pi}{3}(e^2 - 1).$$
因此所求旋转体体积为：
$$V = V_1 - V_2 = 2\pi(e^2 - 1) - \frac{4\pi}{3}(e^2 - 1) = \left(2 - \frac{4}{3}\right)\pi(e^2 - 1) = \frac{2\pi}{3}(e^2 - 1).$$
最终答案为$\displaystyle V = \frac{2\pi}{3}(e^2 - 1)$。验证：当$e^2-1>0$时体积为正，且量纲正确。
公式：V = \pi \int_{1}^{e^2} (\ln x)^2 \, \mathrm{d}x - \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot (e^2 - 1) = \frac{2\pi}{3}(e^2 - 1)
提示：注意区分曲线旋转部分与空白圆锥部分，用大体积减小体积。