2012年考研数学二第8题

设矩阵 $P = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$，即 $P$ 的列向量依次为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$。矩阵 $Q$ 的列向量为 $\alpha_1+\alpha_2,\; \alpha_2,\; \alpha_3$。 我们需要找到一个矩阵 $C$，使得 $Q = P C$。由矩阵乘法的定义，$P C$ 的第 $j$ 列等于 $P$ 乘以 $C$ 的第 $j$ 列。设 $C$ 的第 $j$ 列元素为 $c_{1j}, c_{2j}, c_{3j}$，则 $P C$ 的第 $j$ 列为 $c_{1j}\alpha_1 + c_{2j}\alpha_2 + c_{3j}\alpha_3$。 对于 $Q$ 的第一列 $\alpha_1+\alpha_2$，它应等于 $c_{11}\alpha_1 + c_{21}\alpha_2 + c_{31}\alpha_3$。比较系数得 $c_{11}=1,\; c_{21}=1,\; c_{31}=0$。 对于 $Q$ 的第二列 $\alpha_2$，它应等于 $c_{12}\alpha_1 + c_{22}\alpha_2 + c_{32}\alpha_3$，得 $c_{12}=0,\; c_{22}=1,\; c_{32}=0$。 对于 $Q$ 的第三列 $\alpha_3$，它应等于 $c_{13}\alpha_1 + c_{23}\alpha_2 + c_{33}\alpha_3$，得 $c_{13}=0,\; c_{23}=0,\; c_{33}=1$。 因此， $$ C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$ 于是得到关系 $Q = P C$。

根据题目已知条件，矩阵$A$经过正交变换$X=Py$化为标准形$y^T(P^TAP)y$，其中$P$为正交矩阵，且$P^{-1}AP = \Lambda$，$\Lambda$为对角矩阵，其对角线元素为$A$的特征值。设$A$的特征值为$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$，则$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix}$。 现在引入矩阵$C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，并令$Q = PC$。由于$P$是正交矩阵，$C$是可逆矩阵（因为$\det(C)=1\neq0$），故$Q$可逆。 我们需要计算$Q^{-1}AQ$。利用相似变换公式： $$Q^{-1}AQ = (PC)^{-1} A (PC) = C^{-1} (P^{-1}AP) C.$$ 代入$P^{-1}AP = \Lambda$，得： $$Q^{-1}AQ = C^{-1} \Lambda C.$$ 计算$C^{-1}$。由于$C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，其逆矩阵为$C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。 于是： $$Q^{-1}AQ = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ 先计算$\Lambda C$： $$\Lambda C = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \lambda_1 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix}.$$ 再左乘$C^{-1}$： $$Q^{-1}AQ = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \lambda_1 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \lambda_1 - \lambda_3 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix}.$$ 因此，$Q^{-1}AQ$的表达式为： $$Q^{-1}AQ = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \lambda_1 - \lambda_3 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix}.$$

已知过渡矩阵 $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，需要求其逆矩阵 $C^{-1}$。 由于 $C$ 是下三角矩阵，且主对角线元素均为1，其逆矩阵也是下三角矩阵，且主对角线元素也为1。设 $C^{-1} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$，满足 $C C^{-1} = I$。 计算 $C C^{-1}$： $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{11}+a_{21} & a_{12}+a_{22} & a_{13}+a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} $$ 令其等于单位矩阵 $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，比较对应元素： 第一行：$a_{11}=1,\; a_{12}=0,\; a_{13}=0$。 第二行：$a_{11}+a_{21}=0 \Rightarrow 1+a_{21}=0 \Rightarrow a_{21}=-1$； $a_{12}+a_{22}=1 \Rightarrow 0+a_{22}=1 \Rightarrow a_{22}=1$； $a_{13}+a_{23}=0 \Rightarrow 0+a_{23}=0 \Rightarrow a_{23}=0$。 第三行：$a_{31}=0,\; a_{32}=0,\; a_{33}=1$。 因此得到 $C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。 验证：$C C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，结果正确。

已知由前一步骤得到 $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(1,1,2)$，且已求得矩阵 $C = P^{-1}Q$。本步骤需要计算 $C^{-1}(P^{-1}AP)C$。 首先，将 $P^{-1}AP$ 代入，得到： $$C^{-1}(P^{-1}AP)C = C^{-1} \cdot \operatorname{diag}(1,1,2) \cdot C.$$ 设 $C = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，则 $C^{-1} = \frac{1}{\det(C)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$，其中 $\det(C) = ad - bc$。 计算乘积 $\operatorname{diag}(1,1,2) \cdot C$： $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ 注意：这里对角矩阵是 $3 \times 3$ 矩阵，$C$ 是 $3 \times 2$ 矩阵，乘积为 $3 \times 2$ 矩阵。 再左乘 $C^{-1}$（$2 \times 3$ 矩阵），得到 $2 \times 2$ 矩阵： $$C^{-1} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\det(C)} \begin{pmatrix} d & -b & 0 \\ -c & a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ 计算乘积： - 第一行第一列：$d \cdot a + (-b) \cdot c + 0 \cdot 0 = ad - bc = \det(C)$。 - 第一行第二列：$d \cdot b + (-b) \cdot d + 0 \cdot 0 = bd - bd = 0$。 - 第二行第一列：$(-c) \cdot a + a \cdot c + 0 \cdot 0 = -ac + ac = 0$。 - 第二行第二列：$(-c) \cdot b + a \cdot d + 0 \cdot 0 = -bc + ad = \det(C)$。 因此，乘积为 $\frac{1}{\det(C)} \begin{pmatrix} \det(C) & 0 \\ 0 & \det(C) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，即单位矩阵 $I_2$。 故 $C^{-1}(P^{-1}AP)C = I_2$。