2007年考研数学一第13题

首先，对于给定的非齐次线性微分方程 $y'' - 4y' + 3y = 2e^{2x}$，我们要求解其通解。第一步需要先写出对应的齐次方程。齐次方程是将原方程右端的非齐次项置零得到，即 $y'' - 4y' + 3y = 0$。这是一个二阶常系数线性齐次微分方程。 为了求解该齐次方程，我们设解的形式为 $y = e^{\lambda x}$，代入齐次方程。计算一阶导数 $y' = \lambda e^{\lambda x}$，二阶导数 $y'' = \lambda^2 e^{\lambda x}$。代入方程得： $$\lambda^2 e^{\lambda x} - 4\lambda e^{\lambda x} + 3e^{\lambda x} = 0$$ 由于 $e^{\lambda x} \neq 0$，两边同除以 $e^{\lambda x}$ 得到特征方程： $$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$$ 这是一个关于 $\lambda$ 的一元二次方程。因式分解得： $$(\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$$ 因此特征根为 $\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 3$。两个根为不相等的实根，所以齐次方程的通解形式为 $y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{3x}$，其中 $C_1, C_2$ 为任意常数。

在第一步中，我们已经根据原二阶常系数线性非齐次微分方程 $y'' - 4y' + 3y = 0$ 得到了对应的特征方程 $r^2 - 4r + 3 = 0$，并求解得到两个不相等的实根 $r_1 = 1$，$r_2 = 3$。 对于二阶常系数线性齐次微分方程 $y'' + p y' + q y = 0$，当特征方程有两个不相等的实根 $r_1$ 和 $r_2$ 时，其通解形式为 $y_h = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$，其中 $C_1$、$C_2$ 为任意常数。 将 $r_1 = 1$ 和 $r_2 = 3$ 代入该通解公式，得到齐次方程的通解为： $$y_h = C_1 e^{1 \cdot x} + C_2 e^{3 \cdot x} = C_1 e^{x} + C_2 e^{3x}$$ 其中 $C_1$、$C_2$ 为任意常数。 该通解满足齐次方程 $y'' - 4y' + 3y = 0$，即对于任意常数 $C_1$、$C_2$，代入方程后左端恒为零。后续步骤将利用此齐次通解，结合非齐次项的形式，通过待定系数法或常数变易法求出非齐次方程的一个特解，进而得到原方程的通解。

首先，我们已经求出了对应齐次方程的特征根为 $r_1=1$ 和 $r_2=3$，因此齐次方程的通解形式为 $y_c = C_1 e^{x} + C_2 e^{3x}$。 现在考虑非齐次方程 $y'' - 4y' + 3y = 2e^{2x}$。非齐次项为 $f(x)=2e^{2x}$，属于指数函数形式。根据线性微分方程解的结构理论，非齐次方程的特解形式取决于非齐次项与特征根的关系。 我们需要判断指数 $2$ 是否为特征根。特征根为 $1$ 和 $3$，显然 $2$ 不是特征根（即 $2 \neq 1$ 且 $2 \neq 3$）。因此，特解应设为与 $f(x)$ 同形式的指数函数，即 $y_p = A e^{2x}$，其中 $A$ 为待定常数。 注意：如果 $2$ 是单特征根，则特解需乘以 $x$，设为 $y_p = A x e^{2x}$；如果 $2$ 是重特征根，则需乘以 $x^2$。但此处 $2$ 不是特征根，故直接设为 $y_p = A e^{2x}$ 即可。 接下来，我们将 $y_p = A e^{2x}$ 代入原方程，通过比较系数确定 $A$ 的值。

已知原方程为 $y'' - 4y' + 3y = 2e^{2x}$，且已设特解形式为 $y_p = a e^{2x}$，其中 $a$ 为待定系数。 首先计算 $y_p$ 的一阶导数和二阶导数： $$y_p' = 2a e^{2x}, \quad y_p'' = 4a e^{2x}.$$ 将 $y_p$、$y_p'$、$y_p''$ 代入原方程左边： $$y_p'' - 4y_p' + 3y_p = 4a e^{2x} - 4 \cdot (2a e^{2x}) + 3 \cdot (a e^{2x}) = 4a e^{2x} - 8a e^{2x} + 3a e^{2x} = (4a - 8a + 3a) e^{2x} = (-a) e^{2x}.$$ 方程右边为 $2e^{2x}$，因此有： $$-a e^{2x} = 2e^{2x}.$$ 两边同时除以 $e^{2x}$（$e^{2x} \neq 0$），得到关于 $a$ 的代数方程： $$-a = 2,$$ 解得 $a = -2$。 因此特解为 $y_p = -2e^{2x}$。

在前面的步骤中，我们已经求出了对应齐次方程的通解为 $y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{3x}$，并且通过待定系数法求得非齐次方程的一个特解为 $y^* = -2e^{2x}$。根据线性微分方程解的结构定理，非齐次线性微分方程的通解等于其对应的齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解。因此，原方程的通解为： $$ y = y_h + y^* = C_1 e^{x} + C_2 e^{3x} - 2e^{2x} $$ 其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为任意常数。 **验证**：将通解代入原方程进行验证。首先计算一阶导数： $$ y' = C_1 e^{x} + 3C_2 e^{3x} - 4e^{2x} $$ 再计算二阶导数： $$ y'' = C_1 e^{x} + 9C_2 e^{3x} - 8e^{2x} $$ 代入原方程 $y'' - 4y' + 3y = 2e^{2x}$： 左边 $= (C_1 e^{x} + 9C_2 e^{3x} - 8e^{2x}) - 4(C_1 e^{x} + 3C_2 e^{3x} - 4e^{2x}) + 3(C_1 e^{x} + C_2 e^{3x} - 2e^{2x})$ $= C_1 e^{x} + 9C_2 e^{3x} - 8e^{2x} - 4C_1 e^{x} - 12C_2 e^{3x} + 16e^{2x} + 3C_1 e^{x} + 3C_2 e^{3x} - 6e^{2x}$ 合并同类项： $e^{x}$ 项：$C_1 - 4C_1 + 3C_1 = 0$ $e^{3x}$ 项：$9C_2 - 12C_2 + 3C_2 = 0$ $e^{2x}$ 项：$-8 + 16 - 6 = 2$ 左边 $= 2e^{2x}$，等于右边，验证正确。 因此，原方程的通解为 $y = C_1 e^{x} + C_2 e^{3x} - 2e^{2x}$，其中 $C_1, C_2$ 为任意常数。