2007年考研数学一第12题

题目中给出的函数为 $z = f(x^y, y^x)$，其中 $f$ 是二元可微函数。为了计算 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数，我们需要识别出中间变量，从而应用多元复合函数的链式法则。 观察函数结构：$z$ 依赖于两个中间变量，第一个是 $u = x^y$，第二个是 $v = y^x$。因此，我们可以将 $z$ 表示为 $z = f(u, v)$，其中 $u$ 和 $v$ 都是 $x$ 和 $y$ 的函数。 具体地： - $u = x^y$，这是一个幂指函数，底数为 $x$，指数为 $y$。 - $v = y^x$，这也是一个幂指函数，底数为 $y$，指数为 $x$。 这样，$z$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数可以通过链式法则求得： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} $$ $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} $$ 其中 $\frac{\partial f}{\partial u}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial v}$ 是 $f$ 对第一个和第二个中间变量的偏导数，通常记为 $f_1$ 和 $f_2$。 因此，本步骤的关键是正确识别出中间变量 $u$ 和 $v$，为后续计算偏导数做好准备。

根据多元复合函数求导法则，我们需要写出链式法则公式。已知函数 $z = f(u, v)$，其中 $u = u(x, y)$，$v = v(x, y)$，则 $z$ 对 $x$ 的偏导数由链式法则给出： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} $$ 这里，$\frac{\partial f}{\partial u}$ 表示 $f$ 对第一个中间变量 $u$ 的偏导数，$\frac{\partial f}{\partial v}$ 表示 $f$ 对第二个中间变量 $v$ 的偏导数。$\frac{\partial u}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial x}$ 分别是 $u$ 和 $v$ 对 $x$ 的偏导数。 类似地，$z$ 对 $y$ 的偏导数为： $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} $$ 在本题目中，我们只需要写出 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的链式法则公式，为后续代入具体函数表达式做准备。注意，链式法则要求所有偏导数在相应点处存在且连续，以保证公式成立。

本步骤的目标是计算函数 $u = x^y$ 对 $x$ 的偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x}$。在求偏导时，将 $y$ 视为常数，因此 $u$ 可以看作是以 $x$ 为自变量、$y$ 为参数的幂函数。根据幂函数的求导法则：对于函数 $f(x) = x^a$（其中 $a$ 为常数），其导数为 $f'(x) = a x^{a-1}$。这里，指数 $y$ 是常数，所以直接应用该法则： $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^y) = y \cdot x^{y-1}.$$ 注意，此结果仅在 $x > 0$ 时成立（因为幂函数 $x^y$ 在 $x$ 为负数且 $y$ 非整数时可能无定义）。在多元函数微分中，偏导数的计算与一元函数求导类似，只需将其他变量视为常数即可。因此，本步骤的最终结果为 $\frac{\partial u}{\partial x} = y x^{y-1}$。

已知 $v = y^x$，需要计算 $v$ 对 $x$ 的偏导数 $\frac{\partial v}{\partial x}$。在偏导数计算中，当对 $x$ 求偏导时，将 $y$ 视为常数。因此，$v = y^x$ 可以看作是以 $y$ 为底的指数函数，其中底数 $y$ 是常数，指数 $x$ 是变量。根据指数函数的求导公式：对于 $a^x$（$a>0$ 且 $a\neq 1$），有 $\frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a$。将 $a$ 替换为 $y$，得到： $$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (y^x) = y^x \cdot \ln y.$$ 注意，这里 $\ln y$ 是自然对数，由于 $y$ 被视为常数，$\ln y$ 也是一个常数。因此，最终结果为 $y^x \ln y$。该结果在 $y>0$ 时成立，因为指数函数 $y^x$ 的定义要求底数 $y$ 为正数。若 $y \leq 0$，则 $y^x$ 可能不是实数或导数公式不适用，但题目通常默认 $y>0$。

在前面的步骤中，我们已经求出了中间变量$u=x^y$和$v=y^x$对$x$的偏导数： $$ \frac{\partial u}{\partial x}=y\cdot x^{y-1},\quad \frac{\partial v}{\partial x}=y^x\ln y. $$ 同时，由链式法则，$z=f(u,v)$对$x$的偏导数为： $$ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}. $$ 记$f_1'=\frac{\partial f}{\partial u}$，$f_2'=\frac{\partial f}{\partial v}$，将上述偏导数代入链式公式，得到： $$ \frac{\partial z}{\partial x}=f_1'\cdot\left(y\cdot x^{y-1}\right)+f_2'\cdot\left(y^x\ln y\right). $$ 整理后即为： $$ \frac{\partial z}{\partial x}=y\cdot x^{y-1}\cdot f_1'+y^x\cdot\ln y\cdot f_2'. $$ 注意，这里的$f_1'$和$f_2'$仍然是关于$u=x^y$和$v=y^x$的函数，在最终表达式中应保留为抽象形式。本题要求的是$\frac{\partial z}{\partial x}$的表达式，无需进一步化简。因此，最终结果为： $$ \boxed{\dfrac{\partial z}{\partial x}=y\cdot x^{y-1}\cdot\dfrac{\partial f}{\partial u}+y^x\cdot\ln y\cdot\dfrac{\partial f}{\partial v}}. $$ 其中$u=x^y$，$v=y^x$。