2007年考研数学一第11题

本题为计算定积分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} \sin\frac{1}{x} \, dx$。为了简化被积函数的形式，我们采用变量代换 $t = \frac{1}{x}$。 首先，由 $t = \frac{1}{x}$ 可得 $x = \frac{1}{t}$。对 $x$ 求微分：$dx = -\frac{1}{t^{2}} \, dt$。 接着，需要将积分限进行变换。当 $x = 1$ 时，$t = \frac{1}{1} = 1$；当 $x = 2$ 时，$t = \frac{1}{2}$。因此，积分下限从 $x=1$ 变为 $t=1$，积分上限从 $x=2$ 变为 $t=\frac{1}{2}$。注意，由于 $t$ 随 $x$ 增大而减小，积分上下限在 $t$ 变量下发生了颠倒，即积分区间变为 $t$ 从 $1$ 到 $\frac{1}{2}$。 将 $x = \frac{1}{t}$ 和 $dx = -\frac{1}{t^{2}} \, dt$ 代入原积分，并调整积分限顺序（交换上下限需改变符号）： $$ \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} \sin\frac{1}{x} \, dx = \int_{t=1}^{t=\frac{1}{2}} \frac{1}{(1/t)^{2}} \sin(t) \cdot \left(-\frac{1}{t^{2}}\right) \, dt. $$ 化简被积函数：$(1/t)^{2} = \frac{1}{t^{2}}$，所以 $\frac{1}{(1/t)^{2}} = t^{2}$。于是被积函数变为 $t^{2} \cdot \sin(t) \cdot \left(-\frac{1}{t^{2}}\right) = -\sin(t)$。因此， $$ \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} \sin\frac{1}{x} \, dx = \int_{1}^{\frac{1}{2}} -\sin(t) \, dt. $$ 为了得到标准的积分形式（下限小于上限），我们交换积分限并改变符号： $$ \int_{1}^{\frac{1}{2}} -\sin(t) \, dt = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \sin(t) \, dt. $$ 至此，变量代换完成，原积分转化为 $\int_{\frac{1}{2}}^{1} \sin t \, dt$，下一步将直接计算此积分。

在第一步中，我们通过换元 $x = \frac{1}{t}$ 将原积分转化为关于 $t$ 的积分。此时积分限变为：当 $x=1$ 时，$t=1$；当 $x=2$ 时，$t=\frac{1}{2}$。同时，$dx = -\frac{1}{t^2} dt$，且被积函数中的 $\frac{1}{x^3}$ 替换为 $t^3$，$e^{\frac{1}{x}}$ 替换为 $e^t$。因此原积分 $$\int_{1}^{2} \frac{1}{x^3} e^{\frac{1}{x}} dx$$ 变为 $$\int_{1}^{1/2} t^3 \cdot e^t \cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right) dt$$。接下来进行化简：$t^3 \cdot \frac{1}{t^2} = t$，所以被积函数化为 $t \cdot e^t$，而负号与积分限的交换相结合。由于积分下限大于上限（$1 > \frac{1}{2}$），交换积分限会引入一个负号，即 $$\int_{1}^{1/2} (-t e^t) dt = \int_{1/2}^{1} t e^t dt$$。因此，原积分化简为 $$\int_{1/2}^{1} t e^t dt$$。

本步骤的目标是对积分 $\int t e^t \, dt$ 应用分部积分法。分部积分公式为 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$。我们选择 $u = t$，$dv = e^t \, dt$。则计算微分和原函数：$du = dt$，$v = \int e^t \, dt = e^t$。代入分部积分公式得： $$\int t e^t \, dt = t \cdot e^t - \int e^t \, dt = t e^t - e^t + C = (t-1)e^t + C,$$ 其中 $C$ 为任意常数。这样，我们成功将原积分转化为一个初等函数表达式。注意，这里得到的 $C$ 是积分常数，在后续代入上下限计算定积分时会消去。

本步骤为定积分计算的最后一步，需要将积分上限 $1$ 和下限 $\frac{1}{2}$ 分别代入原函数 $F(t) = (t-1)e^t$，并计算差值。 首先，代入上限 $t=1$： $$F(1) = (1-1)e^1 = 0 \cdot e = 0.$$ 接着，代入下限 $t=\frac{1}{2}$： $$F\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2} - 1\right)e^{1/2} = \left(-\frac{1}{2}\right)e^{1/2} = -\frac{1}{2}\sqrt{e}.$$ 根据牛顿-莱布尼茨公式，定积分值为 $F(1) - F(\frac{1}{2})$： $$\int_{1/2}^{1} (t-1)e^t \, dt = F(1) - F\left(\frac{1}{2}\right) = 0 - \left(-\frac{1}{2}\sqrt{e}\right) = \frac{1}{2}\sqrt{e}.$$ 因此，最终结果为 $\frac{\sqrt{e}}{2}$。 验证：由于被积函数 $(t-1)e^t$ 在区间 $[\frac{1}{2}, 1]$ 上，当 $t<1$ 时 $(t-1)<0$，$e^t>0$，故被积函数为负，但积分区间长度为正，积分值应为正，结果 $\frac{\sqrt{e}}{2}>0$，符合预期。