2007年考研数学一第10题

二维正态分布是概率论与数理统计中一类重要的连续型分布。设随机变量 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，其联合概率密度函数为： $$f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(x-\mu_X)^2}{\sigma_X^2}-2\rho\frac{(x-\mu_X)(y-\mu_Y)}{\sigma_X\sigma_Y}+\frac{(y-\mu_Y)^2}{\sigma_Y^2}\right]\right\}$$ 其中 $\mu_X,\mu_Y$ 分别为 $X$ 和 $Y$ 的均值，$\sigma_X>0,\sigma_Y>0$ 分别为标准差，$\rho$ 为 $X$ 与 $Y$ 的相关系数。 二维正态分布具有一个非常重要的性质：**对于二维正态分布，$X$ 与 $Y$ 不相关等价于 $X$ 与 $Y$ 相互独立**。具体来说，$\rho=0$ 时，联合密度函数可分解为两个边缘密度函数的乘积，即 $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，因此 $X$ 与 $Y$ 独立；反之，若 $X$ 与 $Y$ 独立，则协方差 $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$，从而相关系数 $\rho=0$。这一性质在一般分布中并不成立（不相关不一定独立），但对于二维正态分布是成立的。 此外，二维正态分布还有以下常用性质： - 边缘分布：$X\sim N(\mu_X,\sigma_X^2)$，$Y\sim N(\mu_Y,\sigma_Y^2)$。 - 条件分布：给定 $X=x$ 时，$Y$ 的条件分布为正态分布，均值为 $\mu_Y+\rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}(x-\mu_X)$，方差为 $\sigma_Y^2(1-\rho^2)$。 - 线性组合：$aX+bY$ 仍服从正态分布。 本步骤的核心是记住：在二维正态分布中，独立性与不相关性完全等价。这一结论在后续判断随机变量独立性时非常关键。

由于题目中已明确随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，根据概率论中独立随机变量的性质，联合概率密度函数 $f(x,y)$ 等于各自边缘概率密度函数的乘积，即 $f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$。 首先，我们需要写出 $X$ 和 $Y$ 的边缘密度。由题目条件（前一步已得出），$X$ 服从区间 $[0,1]$ 上的均匀分布，故其边缘密度为： $$ f_X(x) = \begin{cases} 1, & 0 \le x \le 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} $$ $Y$ 服从区间 $[0,2]$ 上的均匀分布，故其边缘密度为： $$ f_Y(y) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}, & 0 \le y \le 2, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} $$ 由独立性，联合密度函数为： $$ f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) = \begin{cases} 1 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}, & 0 \le x \le 1, \ 0 \le y \le 2, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} $$ 因此，在矩形区域 $[0,1] \times [0,2]$ 上，联合密度为常数 $\frac{1}{2}$；在该区域外，联合密度为 $0$。这一结果直观反映了两个独立均匀分布随机变量的联合分布是均匀的，其总概率为 $1 \times 2 \times \frac{1}{2} = 1$，满足归一性。

根据条件概率密度的定义，在给定 $Y=y$ 的条件下，$X$ 的条件概率密度函数 $f_{X|Y}(x|y)$ 由联合概率密度函数 $f(x,y)$ 与 $Y$ 的边缘概率密度函数 $f_Y(y)$ 的比值给出，即 $$ f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}. $$ 其中分母 $f_Y(y)$ 必须满足 $f_Y(y) > 0$，否则条件密度无定义。 在本题目中，联合概率密度函数为 $$ f(x,y) = \begin{cases} e^{-x}, & 0 < y < x < +\infty, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} $$ 而 $Y$ 的边缘概率密度函数已在上一步骤中求得为 $$ f_Y(y) = \begin{cases} e^{-y}, & y > 0, \\ 0, & y \le 0. \end{cases} $$ 因此，当 $y > 0$ 且 $x > y$ 时，有 $$ f_{X|Y}(x|y) = \frac{e^{-x}}{e^{-y}} = e^{-(x-y)}. $$ 当 $y \le 0$ 或 $x \le y$ 时，条件密度为零。 所以条件概率密度函数的完整表达式为 $$ f_{X|Y}(x|y) = \begin{cases} e^{-(x-y)}, & x > y > 0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} $$ 注意，该条件密度实际上是一个参数为 $\lambda=1$ 的指数分布，但起始点平移到了 $y$，即 $X$ 在给定 $Y=y$ 下服从位置参数为 $y$ 的指数分布。

由步骤3已知，在给定条件$Y=y$下，$X$的条件概率密度函数为： $$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$$ 其中$f(x,y)$是联合概率密度函数，$f_Y(y)$是$Y$的边缘概率密度函数。 根据题目条件，$X$与$Y$相互独立，因此联合概率密度函数等于边缘概率密度函数的乘积： $$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$$ 将上式代入条件概率密度公式中： $$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f_X(x)f_Y(y)}{f_Y(y)}$$ 由于分母$f_Y(y)$与分子中的$f_Y(y)$相同（且$f_Y(y)>0$），可以约去，得到： $$f_{X|Y}(x|y)=f_X(x)$$ 这表明，当$X$与$Y$相互独立时，给定$Y=y$的条件下$X$的条件分布与$X$的无条件分布完全相同，即$Y$的取值不提供关于$X$的任何额外信息。 因此，化简后的结果就是$X$的边缘概率密度函数$f_X(x)$。

根据前几步的推导，我们已经得到随机变量$X$的概率密度函数为 $$ f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 0 < x < 1, \\ \frac{1}{4}, & 1 < x < 3, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} $$ 现在需要从四个选项中选择正确的表达式。选项（A）为 $$ f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 0 < x < 1, \\ \frac{1}{4}, & 1 < x < 3, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} $$ 选项（B）为 $$ f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 0 < x < 1, \\ \frac{1}{4}, & 1 < x < 2, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} $$ 选项（C）为 $$ f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}, & 0 < x < 1, \\ \frac{1}{6}, & 1 < x < 3, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} $$ 选项（D）为 $$ f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}, & 0 < x < 1, \\ \frac{1}{6}, & 1 < x < 2, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} $$ 对比可知，我们推导出的密度函数与选项（A）完全一致。为了验证正确性，可以检查密度函数的归一性： $$ \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \, dx = \int_0^1 \frac{1}{2} \, dx + \int_1^3 \frac{1}{4} \, dx = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1, $$ 满足概率密度函数的条件。因此，正确答案为选项（A）。