2007年考研数学一第9题

前3次射击是相互独立的重复试验，每次命中目标的概率为$p$，未命中的概率为$1-p$。在3次独立重复射击中，命中次数$X$服从二项分布，即$X \sim B(3, p)$。 要求恰好命中1次的概率，即$P(X=1)$。根据二项分布的概率公式： $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ 其中$n=3$，$k=1$。 计算组合数： $$\binom{3}{1} = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 1} = 3$$ 代入公式得： $$P(X=1) = \binom{3}{1} p^1 (1-p)^{3-1} = 3p(1-p)^2$$ 因此，前3次射击中恰好命中1次的概率为$3p(1-p)^2$。

根据题意，每次射击命中目标的概率为$p$，且各次射击相互独立。第4次射击命中目标这一事件，其概率直接由单次射击的命中概率给出，即$P(\text{第4次命中}) = p$。这里不需要考虑前3次射击的结果，因为独立性保证了第4次射击的结果不受之前射击的影响。因此，第4次命中的概率就是$p$。

在前三步中，我们已经求出了前3次射击恰好命中1次的概率为 $3p(1-p)^2$。现在，题目要求的是“前3次恰好命中1次且第4次命中”这一事件的总概率。由于每次射击是相互独立的，因此该事件的概率等于前3次恰好命中1次的概率与第4次命中的概率的乘积。第4次命中的概率为 $p$。所以，总概率为： $$ P = [3p(1-p)^2] \times p = 3p^2(1-p)^2. $$ 这里，$p$ 表示每次射击命中的概率，$1-p$ 表示每次射击未命中的概率。该结果已经是最简形式，无需进一步化简。注意，此概率对应的是“恰好前3次中1次且第4次命中”这一特定事件，而不是“在4次射击中恰好命中2次”的任意情况。

在前面的步骤中，我们通过分析矩阵的特征值与特征向量，计算得到矩阵$A$的迹为$\operatorname{tr}(A)=3$，行列式为$\det(A)=1$，且特征多项式为$\lambda^2-3\lambda+1=0$。进一步，我们利用已知条件$A\alpha_1=\alpha_1$和$A(\alpha_1+\alpha_2)=2(\alpha_1+\alpha_2)$，推导出$A$的特征值为$\lambda_1=1$和$\lambda_2=2$。但此时发现特征值之和为$1+2=3$，与迹$3$一致；特征值之积为$1\times2=2$，与行列式$1$矛盾。因此，我们重新审视题目条件，发现$A$是$2\times2$矩阵，且$\alpha_1,\alpha_2$线性无关，故$A$可对角化。实际上，由$A\alpha_1=\alpha_1$知$\lambda_1=1$，由$A(\alpha_1+\alpha_2)=2(\alpha_1+\alpha_2)$知$\lambda_2=2$，但这两个特征值对应的特征向量分别为$\alpha_1$和$\alpha_1+\alpha_2$，它们线性无关，因此$A$可对角化为$\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$。此时$\operatorname{tr}(A)=3$，$\det(A)=2$，与之前计算的行列式$1$不符，说明之前的行列式计算有误。实际上，由$A\alpha_1=\alpha_1$和$A\alpha_2=2\alpha_2$（因为$A(\alpha_1+\alpha_2)=2(\alpha_1+\alpha_2)$且$A\alpha_1=\alpha_1$，相减得$A\alpha_2=2\alpha_2$），所以$A$的特征值为$1$和$2$，对应的特征向量为$\alpha_1$和$\alpha_2$。因此，在基$\alpha_1,\alpha_2$下，$A$的矩阵为$\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$。现在题目要求$A$在基$\alpha_1,\alpha_2$下的矩阵，即$\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$。对照选项： (A) $\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$ (B) $\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}$ (C) $\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$ (D) $\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$ 显然，$\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$对应选项(C)。因此，本题正确答案为(C)。