2013年考研数学二第10题

已知曲线方程为 $y = f(x)$，且题目中给出积分下限为 $-1$。我们需要找到 $y=0$ 时对应的 $x$ 值。将 $y=0$ 代入方程 $y = f(x)$，得到 $f(x)=0$。根据题目条件，曲线与 $x$ 轴的交点中，有一个对应的 $x$ 值为 $-1$（因为积分下限为 $-1$，说明曲线在 $x=-1$ 处与 $x$ 轴相交）。因此，当 $y=0$ 时，$x=-1$。这一步是确定积分区域的边界，为后续计算曲线围成的面积做准备。注意，这里隐含了 $f(-1)=0$ 的条件。

已知函数 $f(x)=\int_{0}^{x}\sqrt{1-e^{t}}\,dt$，这是一个变上限积分函数，其上限为变量 $x$，下限为常数 $0$。根据变上限积分求导公式：若 $F(x)=\int_{a}^{x}g(t)\,dt$，则 $F'(x)=g(x)$。这里被积函数为 $g(t)=\sqrt{1-e^{t}}$，且 $a=0$，因此直接应用公式可得： $$f'(x)=\sqrt{1-e^{x}}$$ 注意，该公式成立的前提是被积函数 $g(t)$ 在积分区间上连续。由于 $e^{t}$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，$\sqrt{1-e^{t}}$ 在 $t\leq 0$ 时有定义且连续，而题目中 $x$ 的取值范围应使得 $1-e^{x}\geq 0$，即 $x\leq 0$，故在定义域内公式有效。因此，导数结果为 $f'(x)=\sqrt{1-e^{x}}$。

已知函数 $f(x)$ 的导数为 $f'(x) = \sqrt{1 - e^{x}}$（由前一步推导得出）。现在需要计算 $f'(-1)$，即代入 $x = -1$。 将 $x = -1$ 代入导数表达式： $$f'(-1) = \sqrt{1 - e^{-1}}$$ 由于 $e^{-1} = \frac{1}{e}$，因此： $$f'(-1) = \sqrt{1 - \frac{1}{e}}$$ 化简根号内的表达式： $$1 - \frac{1}{e} = \frac{e - 1}{e}$$ 所以： $$f'(-1) = \sqrt{\frac{e - 1}{e}} = \frac{\sqrt{e - 1}}{\sqrt{e}}$$ 通常保留为 $\sqrt{1 - e^{-1}}$ 或 $\sqrt{\frac{e-1}{e}}$ 均可。注意 $e^{-1} < 1$，因此根号内为正，结果有意义。 至此，我们得到了 $f'(-1)$ 的表达式，为下一步求 $f(-1)$ 或验证其他条件做好准备。

已知函数 $y = f(x)$ 在 $x = -1$ 处可导，且 $f(-1) = 0$，$f'(x) = \sqrt{1 - e^{-x}}$。由反函数导数公式，若 $y = f(x)$ 的反函数为 $x = f^{-1}(y)$，则 $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{f'(x)}$，其中 $x$ 与 $y$ 满足 $y = f(x)$。 题目要求 $\left. \frac{dx}{dy} \right|_{y=0}$，即求反函数在 $y=0$ 处的导数。由于 $y=0$ 对应 $x = -1$（因为 $f(-1)=0$），代入公式得： $$ \left. \frac{dx}{dy} \right|_{y=0} = \frac{1}{f'(-1)}. $$ 已知 $f'(x) = \sqrt{1 - e^{-x}}$，则 $f'(-1) = \sqrt{1 - e^{-(-1)}} = \sqrt{1 - e^{1}}$？注意：$e^{-(-1)} = e^{1} = e$，但 $1 - e$ 为负数，开平方无实数意义。回顾原题，$f'(x) = \sqrt{1 - e^{-x}}$ 的定义域需满足 $1 - e^{-x} \geq 0$，即 $e^{-x} \leq 1$，亦即 $-x \leq 0$，$x \geq 0$。然而题目中 $x = -1$ 不满足此条件，因此需要重新审视。 实际上，原题中 $f(x)$ 的定义可能为 $f'(x) = \sqrt{1 - e^{-x}}$，但 $x=-1$ 时 $e^{-(-1)} = e$，$1-e<0$，导数无实数意义。常见处理是：题目中 $f'(x) = \sqrt{1 - e^{-x}}$ 可能是在 $x \leq 0$ 时成立？或者 $f'(x) = \sqrt{1 - e^{x}}$？但根据题目步骤概要，结果为 $\frac{1}{\sqrt{1 - e^{-1}}}$，因此推测正确的导数为 $f'(x) = \sqrt{1 - e^{x}}$ 或 $f'(x) = \sqrt{1 - e^{-x}}$ 但 $x=-1$ 时 $e^{-(-1)} = e$ 应改为 $e^{-1}$？实际上，$e^{-(-1)} = e$，而 $e^{-1}$ 是 $e^{-1}$，所以可能是笔误。根据结果反推，应有 $f'(-1) = \sqrt{1 - e^{-1}}$，因此 $f'(x) = \sqrt{1 - e^{x}}$ 在 $x=-1$ 时给出 $\sqrt{1 - e^{-1}}$，或者 $f'(x) = \sqrt{1 - e^{-x}}$ 但 $x=1$ 时？但题目明确 $x=-1$。 为与步骤概要一致，我们采用 $f'(x) = \sqrt{1 - e^{x}}$，则 $f'(-1) = \sqrt{1 - e^{-1}}$，于是 $$ \left. \frac{dx}{dy} \right|_{y=0} = \frac{1}{\sqrt{1 - e^{-1}}}. $$ 最终答案为 $\frac{1}{\sqrt{1 - e^{-1}}}$。验证：由反函数导数公式，结果正确。