设 $\cos x-1=x \sin \alpha(x)$ ，其中 $|\alpha(x)|\lt\displaystyle\frac{\pi}{2}$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$\alpha(x)$ 是（）
设函数 $y=f(x)$ 由方程 $\cos (x y)+\ln y-x=1$ 确定，则 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[f\left(\displaystyle\frac{2}{n}\right)-1\right]=()$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin x, & 0 \leqslant x\lt\pi, \\ 2, & \pi \leqslant x \leqslant 2 \pi,\end{array} \quad F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则（ ）
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{1}{(x-1)^{\alpha-1}}, & 1\lt x\lt\mathrm{e}, \\ \displaystyle\frac{1}{x \ln ^{\alpha+1} x}, & x \geqslant \mathrm{e} .\end{array}\right.$ 若反常积分 $\displaystyle\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则（ ）
设 $z=\displaystyle\frac{y}{x} f(x y)$ ，其中函数 $f$ 可微，则 $\displaystyle\frac{x}{y} \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=()$
设 $D_{k}$ 是圆域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 在第 $k$ 象限的部分。记 $I_{k}=\iint_{D_{k}}(y-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y(k=1,2$ ， 3，4），则（ ） $(\mathrm{C}) I_{3}\gt 0$.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 均为 $n$ 阶矩阵。若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}$ ，且 $\boldsymbol{B}$ 可逆，则（ ）
矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & 1\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似的充分必要条件为（ ）
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left[2-\displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x}\right]^{\displaystyle\frac{1}{x}}=$ $\_\_\_\_$ ．
设函数 $f(x)=\displaystyle\int_{-1}^{x} \sqrt{1-\mathrm{e}^{t}} \mathrm{~d} t$ ，则 $y=f(x)$ 的反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在 $y=0$ 处的导数 $\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}\right|_{y=0}=$ $\_\_\_\_$ ．
设封闭曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r=\cos 3 \theta\left(-\displaystyle\frac{\pi}{6} \leqslant \theta \leqslant \displaystyle\frac{\pi}{6}\right)$ ，则 $L$ 所围平面图形的面积是 $\_\_\_\_$ ．
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\arctan t, \\ y=\ln \sqrt{1+t^{2}}\end{array}\right.$ 上对应于 $t=1$ 的点处的法线方程为 $\_\_\_\_$ ．
已知 $y_{1}=\mathrm{e}^{3 x}-x \mathrm{e}^{2 x}, y_{2}=\mathrm{e}^{x}-x \mathrm{e}^{2 x}, y_{3}=-x \mathrm{e}^{2 x}$ 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程满足条件 $\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ 的解为 $y=$ $\_\_\_\_$。
设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 是 3 阶非零矩阵，$|\boldsymbol{A}|$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的行列式，$A_{i j}$ 为 $a_{i j}$ 的代数余子式。若 $a_{i j}+A_{i j}=0 (i, j=1,2,3)$ ，则 $|\boldsymbol{A}|=$
当 $x \rightarrow 0$ 时， $1-\cos x \cdot \cos 2 x \cdot \cos 3 x$ 与 $a x^{n}$ 为等价无穷小量，求 $n$ 与 $a$ 的值．
设 $D$ 是由曲线 $y=x^{\displaystyle\frac{1}{3}}$ ，直线 $x=a(a\gt 0)$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形，$V_{x}, V_{y}$ 分别是 $D$ 绕 $x$ 轴， $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。若 $V_{y}=10 V_{x}$ ，求 $a$ 的值。
设平面区域 $D$ 由直线 $x=3 y, y=3 x$ 及 $x+y=8$ 围成，计算 $\iint_{D} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上具有 2 阶导数，且 $f(1)=1$ ．证明： （ I ）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=1$ ； （ II ）存在 $\eta \in(-1,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\eta)+f^{\prime}(\eta)=1$ ．
设函数 $f(x)=\ln x+\displaystyle\frac{1}{x}$ ， （ I ）求 $f(x)$ 的最小值； （II）设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\ln x_{n}+\displaystyle\frac{1}{x_{n+1}}\lt 1$ ，证明 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限．
设曲线 $L$ 的方程为 $y=\displaystyle\frac{1}{4} x^{2}-\displaystyle\frac{1}{2} \ln x(1 \leqslant x \leqslant \mathrm{e})$ ， （I）求 $L$ 的弧长； （II）设 $D$ 是由曲线 $L$ ，直线 $x=1, x=\mathrm{e}$ 及 $x$ 轴所围平面图形，求 $D$ 的形心的横坐标．
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & a \\ 1 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & b\end{array}\right)$ 。当 $a, b$ 为何值时，存在矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{C}-\boldsymbol{C} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$ ，并求所有矩阵 $\boldsymbol{C}$ ．
设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2\left(a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+a_{3} x_{3}\right)^{2}+\left(b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}+b_{3} x_{3}\right)^{2}$ ，记
$$
\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{l}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3}
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{l}
b_{1} \\
b_{2} \\
b_{3}
\end{array}\right) .
$$
（I）证明二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ ；
（II）若 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 正交且均为单位向量，证明 $f$ 在正交变换下的标准形为 $2 y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ．