💡 答案解析
好的，我们先来按照题目要求分步骤解答，下面给出完整并且清晰的推导过程。
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## （I）证明二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$
已知二次型为
\[
f(x_1,x_2,x_3)
= 2\left( a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 \right)^2
+ \left( b_1 x_1 + b_2 x_2 + b_3 x_3 \right)^2.
\]
引入向量
\[
\boldsymbol{x} = $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix},
\quad
\boldsymbol{\alpha} = $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix},
\quad
\boldsymbol{\beta} = $\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}.
\]
那么显然有：
\[
a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x},
\quad
b_1 x_1 + b_2 x_2 + b_3 x_3 = $\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}.
\]
于是
\[
f(\boldsymbol{x}) = 2 (\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x})^2 + (\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x})^2.
\]
注意 $(\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x})^2 = $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}$，同理对 $\boldsymbol{\beta}$ 也有相同形式。所以
\[
f(\boldsymbol{x})
= 2 \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} (\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}) \boldsymbol{x}
+ \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} (\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}) \boldsymbol{x}
= $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \left( 2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} + \boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \right) \boldsymbol{x}.
\]
由于二次型对应矩阵是对称的，而 $2\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ 显然是对称矩阵，所以它就是二次型 $f$ 对应的矩阵。得证。
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## （II）若 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$ 正交且均为单位向量，证明 $f$ 在正交变换下的标准形为 $2y_1^2 + y_2^2$
已知条件：
\[
\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha} = 1,\quad
\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta} = 1,\quad
\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta} = 0.
\]
记矩阵
\[
A = 2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} + \boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}.
\]
因为 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$ 是单位正交向量，我们可以取$\mathbb{R}^3$的一组标准正交基 $\{\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma}\}$，其中 $\boldsymbol{\gamma}$ 是同时垂直于 $\boldsymbol{\alpha}$ 和 $\boldsymbol{\beta}$ 的单位向量。那么：
- 当 $A$ 作用在 $\boldsymbol{\alpha}$ 上时：
\[
A \boldsymbol{\alpha} = 2 \boldsymbol{\alpha} (\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}) + \boldsymbol{\beta} (\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha})
= 2\boldsymbol{\alpha} \cdot 1 + \boldsymbol{\beta} \cdot 0 = 2 \boldsymbol{\alpha}.
\]
- 当 $A$ 作用在 $\boldsymbol{\beta}$ 上时：
\[
A \boldsymbol{\beta} = 2 \boldsymbol{\alpha} (\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}) + \boldsymbol{\beta} (\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta})
= 2\boldsymbol{\alpha} \cdot 0 + \boldsymbol{\beta} \cdot 1 = $\boldsymbol{\beta}.
\]
- 当 $A$ 作用在 $\boldsymbol{\gamma}$ 上时：
\[
A \boldsymbol{\gamma} = 2 \boldsymbol{\alpha} (\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\gamma}) + \boldsymbol{\beta} (\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\gamma})
= 0 + 0 = 0.
\]
因此 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma}$ 就是 $A$ 的特征向量，对应特征值分别为 $2,1,0$。由于它们是标准正交的，取它们作为新坐标系的正交基，得到二次型在正交变换下化为：
\[
2 y_1^2 + 1 \cdot y_2^2 + 0 \cdot y_3^2 = 2 y_1^2 + y_2^2.
\]
证毕。
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最终答案用方框表示如下：
\[
\boxed{f = 2y_1^2 + y_2^2}
\]
📋 详细解题步骤
目标：将二次型用向量内积表示
设向量 $\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, x_3)^T$。题目中给出的二次型为 $f = 2(x_1 + x_2 + x_3)^2 + (x_1 - x_2 + x_3)^2$。
首先，将两个线性组合分别表示为向量内积的形式。令
$$
\boldsymbol{\alpha} = (1, 1, 1)^T,\quad \boldsymbol{\beta} = (1, -1, 1)^T.
$$
则
$$
\boldsymbol{\alpha}^T \boldsymbol{x} = 1\cdot x_1 + 1\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = x_1 + x_2 + x_3,
$$
$$
\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x} = 1\cdot x_1 + (-1)\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = x_1 - x_2 + x_3.
$$
于是原二次型可以写成
$$
f = 2(\boldsymbol{\alpha}^T \boldsymbol{x})^2 + (\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x})^2.
$$
这样，我们就将二次型 $f$ 表示为两个线性组合的平方的线性组合，其中每个线性组合都是向量 $\boldsymbol{x}$ 与一个常向量（$\boldsymbol{\alpha}$ 或 $\boldsymbol{\beta}$）的内积。这种表示形式为后续将二次型化为矩阵形式 $f = \boldsymbol{x}^T A \boldsymbol{x}$ 奠定了基础，因为我们可以利用内积的平方与二次型矩阵的关系：$(\boldsymbol{\alpha}^T \boldsymbol{x})^2 = \boldsymbol{x}^T (\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^T) \boldsymbol{x}$。
公式：f = 2(\boldsymbol{\alpha}^T \boldsymbol{x})^2 + (\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x})^2,\quad \boldsymbol{\alpha}=(1,1,1)^T,\ \boldsymbol{\beta}=(1,-1,1)^T
提示：注意两个线性组合的系数向量要分别对应正确，平方项前的系数不要遗漏。
目标：将平方项展开为矩阵乘积
本步骤的目标是将二次型表达式中的平方项展开为矩阵乘积形式。已知原二次型为 $f = 2(\alpha^T x)^2 + (\beta^T x)^2$，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是已知的列向量，$x$ 是变量列向量。
首先，考虑第一个平方项 $(\alpha^T x)^2$。由于 $\alpha^T x$ 是一个标量，其平方等于 $(\alpha^T x)(\alpha^T x)$。利用标量转置等于自身的性质，有 $(\alpha^T x)^2 = (\alpha^T x)^T (\alpha^T x) = x^T \alpha \alpha^T x$。这是因为 $(\alpha^T x)^T = x^T \alpha$，所以乘积为 $x^T \alpha \alpha^T x$。
类似地，第二个平方项 $(\beta^T x)^2$ 可展开为 $x^T \beta \beta^T x$。
因此，原二次型可写为：
$$f = 2(x^T \alpha \alpha^T x) + (x^T \beta \beta^T x) = x^T (2\alpha \alpha^T + \beta \beta^T) x.$$
这里，$2\alpha \alpha^T + \beta \beta^T$ 是一个对称矩阵（因为 $\alpha \alpha^T$ 和 $\beta \beta^T$ 都是对称的），记为矩阵 $A$，则二次型 $f = x^T A x$。这一步将原表达式转化为标准的二次型矩阵形式，为后续求特征值、判断正定性等操作奠定了基础。
公式：$$f = x^T (2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T) x$$
提示：注意 $(\alpha^T x)^2$ 是标量，利用转置恒等变形为 $x^T \alpha \alpha^T x$。
目标：说明矩阵对称性并完成证明
首先，我们已知二次型 $f = 2(\alpha^T x)^2 + (\beta^T x)^2$，其中 $\alpha, \beta$ 是 $n$ 维列向量。将二次型写成矩阵形式：$f = x^T A x$，其中 $A$ 是一个 $n \times n$ 对称矩阵。
考虑表达式 $2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T$。由于 $\alpha\alpha^T$ 和 $\beta\beta^T$ 都是秩为1的对称矩阵（因为 $(\alpha\alpha^T)^T = (\alpha^T)^T \alpha^T = \alpha\alpha^T$，同理 $\beta\beta^T$ 也是对称的），它们的线性组合 $2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T$ 显然也是对称矩阵。
现在验证该矩阵确实对应于二次型 $f$：
$$x^T (2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T) x = 2x^T\alpha\alpha^T x + x^T\beta\beta^T x = 2(\alpha^T x)^T (\alpha^T x) + (\beta^T x)^T (\beta^T x) = 2(\alpha^T x)^2 + (\beta^T x)^2 = f.$$
因此，二次型 $f$ 对应的矩阵就是 $A = 2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T$，且 $A$ 是对称矩阵。
至此，我们完成了步骤目标：说明矩阵的对称性并证明了 $A$ 即为二次型 $f$ 的矩阵。
公式：A = 2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T, \quad x^T A x = 2(\alpha^T x)^2 + (\beta^T x)^2
提示：注意外积矩阵的对称性：$(\alpha\alpha^T)^T = \alpha\alpha^T$。
目标：利用条件构造标准正交基
已知向量 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交且均为单位向量，即 $\alpha \cdot \beta = 0$，$\|\alpha\| = 1$，$\|\beta\| = 1$。我们需要构造 $\mathbb{R}^3$ 的一组标准正交基 $\{\alpha, \beta, \gamma\}$，其中 $\gamma$ 是与 $\alpha$ 和 $\beta$ 都正交的单位向量。
首先，取 $\gamma$ 为 $\alpha$ 与 $\beta$ 的向量积（叉积），因为叉积的结果同时垂直于两个原向量。令
$$\gamma = \frac{\alpha \times \beta}{\|\alpha \times \beta\|}.$$
由于 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交且均为单位向量，有 $\|\alpha \times \beta\| = \|\alpha\| \|\beta\| \sin\frac{\pi}{2} = 1$，因此 $\gamma = \alpha \times \beta$ 本身已是单位向量。
验证正交性：
- $\alpha \cdot \gamma = \alpha \cdot (\alpha \times \beta) = 0$（叉积与每个因子正交）；
- $\beta \cdot \gamma = \beta \cdot (\alpha \times \beta) = 0$；
- $\alpha \cdot \beta = 0$（已知）。
因此 $\{\alpha, \beta, \gamma\}$ 是两两正交的单位向量组，构成 $\mathbb{R}^3$ 的一组标准正交基。
若题目中 $\alpha, \beta$ 以具体坐标给出，则 $\gamma$ 可通过计算叉积得到具体分量。例如，设 $\alpha = (a_1, a_2, a_3)^\mathrm{T}$，$\beta = (b_1, b_2, b_3)^\mathrm{T}$，则
$$\gamma = \alpha \times \beta = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}.$$
由于 $\alpha, \beta$ 已单位正交，此 $\gamma$ 自动为单位向量。
公式：$$\gamma = \alpha \times \beta, \quad \{\alpha, \beta, \gamma\} \text{ 构成 } \mathbb{R}^3 \text{ 的标准正交基}$$
提示：利用叉积构造第三个正交向量，注意检查模长是否为1，必要时归一化。
目标：计算矩阵在基向量上的作用
已知矩阵 $A = 2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T$，其中 $\alpha, \beta, \gamma$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的标准正交基向量，即满足 $\alpha^T\alpha = 1$，$\beta^T\beta = 1$，$\gamma^T\gamma = 1$，且两两正交：$\alpha^T\beta = 0$，$\alpha^T\gamma = 0$，$\beta^T\gamma = 0$。
首先计算 $A$ 作用在 $\alpha$ 上的结果：
$$A\alpha = (2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T)\alpha = 2\alpha(\alpha^T\alpha) + \beta(\beta^T\alpha) = 2\alpha \cdot 1 + \beta \cdot 0 = 2\alpha.$$
接着计算 $A$ 作用在 $\beta$ 上的结果：
$$A\beta = (2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T)\beta = 2\alpha(\alpha^T\beta) + \beta(\beta^T\beta) = 2\alpha \cdot 0 + \beta \cdot 1 = \beta.$$
最后计算 $A$ 作用在 $\gamma$ 上的结果：
$$A\gamma = (2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T)\gamma = 2\alpha(\alpha^T\gamma) + \beta(\beta^T\gamma) = 2\alpha \cdot 0 + \beta \cdot 0 = 0.$$
因此，我们得到 $A\alpha = 2\alpha$，$A\beta = \beta$，$A\gamma = 0$。这表明 $\alpha, \beta, \gamma$ 恰好是 $A$ 的特征向量，对应的特征值分别为 $2, 1, 0$。
公式：A\alpha = 2\alpha,\quad A\beta = \beta,\quad A\gamma = 0
提示：利用正交基向量的正交归一性，直接代入计算即可，注意区分外积与内积。
目标：得到特征值与标准形
由前几步已知，矩阵$A$的三个特征值分别为$\lambda_1=2$，$\lambda_2=1$，$\lambda_3=0$，对应的特征向量依次为$\alpha$，$\beta$，$\gamma$。由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交，因此$\alpha$，$\beta$，$\gamma$已经构成一组正交基。将它们单位化后得到标准正交基，即可构造正交矩阵$Q$，使得$Q^\mathrm{T}AQ=\Lambda$，其中$\Lambda=\mathrm{diag}(2,1,0)$。
在正交变换$\boldsymbol{x}=Q\boldsymbol{y}$下，二次型$f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x}$化为标准形：
$$f=2y_1^2+y_2^2+0\cdot y_3^2=2y_1^2+y_2^2.$$
这里$y_1,y_2,y_3$是新坐标系下的坐标变量。标准形中不含$y_3^2$项，因为对应的特征值为0，表明二次型在$\gamma$方向上的退化性。
最终答案验证：将特征值代入标准形，二次型的秩为2（非零特征值个数），正惯性指数为2（正特征值个数），负惯性指数为0，符合实二次型的惯性定律。同时，正交变换不改变二次型的规范形，因此该标准形正确。
公式：$$f=2y_1^2+y_2^2$$
提示：正交变换下标准形系数即为特征值，注意按特征值顺序对应变量。