💡 答案解析
**答案**: 见解析
---
**解析**:
令 $\boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{ll}x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4}\end{array}\right)$ ，
$$
\begin{aligned}
\text { 则 } \boldsymbol{A} \boldsymbol{C} & =\left(\begin{array}{ll}
1 & a \\
1 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
x_{1} & x_{2} \\
x_{3} & x_{4}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
x_{1}+a x_{3} & x_{2}+a x_{4} \\
x_{1} & x_{2}
\end{array}\right), \\
\boldsymbol{C} \boldsymbol{A} & =\left(\begin{array}{ll}
x_{1} & x_{2} \\
x_{3} & x_{4}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & a \\
1 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
x_{1}+x_{2} & a x_{1} \\
x_{3}+x_{4} & a x_{3}
\end{array}\right), \\
\boldsymbol{A} \boldsymbol{C} & -\boldsymbol{C} \boldsymbol{A} \\
& =\left(\begin{array}{cc}
-x_{2}+a x_{3} & -a x_{1}+x_{2}+a x_{4} \\
x_{1}-x_{3}-x_{4} & x_{2}-a x_{3}
\end{array}\right),
\end{aligned}
$$
由 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{C}-\boldsymbol{C} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$ ，得 $\left\{\begin{array}{l}-x_{2}+a x_{3}=0, \\ -a x_{1}+x_{2}+a x_{4}=1, \\ x_{1}-x_{3}-x_{4}=1, \\ x_{2}-a x_{3}=b .\end{array}\right.$
设以上方程组对应的系数矩阵为 $\boldsymbol{D}$ ，则
$$
\begin{aligned}
\overline{\boldsymbol{D}} & =\left(\begin{array}{cccc:c}
0 & -1 & a & 0 & 0 \\
-a & 1 & 0 & a & 1 \\
1 & 0 & -1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -a & 0 & b
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc:c}
0 & -1 & a & 0 & 0 \\
0 & 1 & -a & 0 & 1+a \\
1 & 0 & -1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -a & 0 & b
\end{array}\right) \\
& \rightarrow\left(\begin{array}{cccc:c}
1 & 0 & -1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -a & 0 & 1+a \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1+a \\
0 & 0 & 0 & 0 & b
\end{array}\right) .
\end{aligned}
$$
当 $a=-1, b=0$ 时，线性方程组 $\boldsymbol{A C}-\boldsymbol{C A}=\boldsymbol{B}$ 有解，
由 $\overline{\boldsymbol{D}} \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 得 $\boldsymbol{A C}-\boldsymbol{C A}=\boldsymbol{B}$ 的通解为
$$\boldsymbol{X}=k_{1}\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
1 \\
0
\end{array}\right)+k_{2}\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right)$$
📋 详细解题步骤
目标：设未知矩阵并计算AC和CA
设未知矩阵 $C = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix}$，其中 $x_1, x_2, x_3, x_4$ 为待定常数。已知矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$。
首先计算 $AC$：
$$AC = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot x_1 + 2\cdot x_3 & 1\cdot x_2 + 2\cdot x_4 \\ -1\cdot x_1 + 1\cdot x_3 & -1\cdot x_2 + 1\cdot x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + 2x_3 & x_2 + 2x_4 \\ -x_1 + x_3 & -x_2 + x_4 \end{pmatrix}.$$
再计算 $CA$：
$$CA = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1\cdot 1 + x_2\cdot (-1) & x_1\cdot 2 + x_2\cdot 1 \\ x_3\cdot 1 + x_4\cdot (-1) & x_3\cdot 2 + x_4\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 - x_2 & 2x_1 + x_2 \\ x_3 - x_4 & 2x_3 + x_4 \end{pmatrix}.$$
至此，我们得到了 $AC$ 和 $CA$ 的表达式，为后续步骤中利用条件 $AC = CA$ 建立方程组做好准备。
公式：$$AC = \begin{pmatrix} x_1+2x_3 & x_2+2x_4 \\ -x_1+x_3 & -x_2+x_4 \end{pmatrix}, \quad CA = \begin{pmatrix} x_1-x_2 & 2x_1+x_2 \\ x_3-x_4 & 2x_3+x_4 \end{pmatrix}$$
提示：严格按照矩阵乘法规则逐元素计算，注意行乘列的顺序。
目标：建立矩阵方程并转化为线性方程组
已知矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，设未知矩阵 $C = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ x_7 & x_8 & x_9 \end{pmatrix}$。
首先计算 $AC$：
$$AC = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ x_7 & x_8 & x_9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_1 & 2x_2 & 2x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ x_7 & x_8 & x_9 \end{pmatrix}$$
再计算 $CA$：
$$CA = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ x_7 & x_8 & x_9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_1 & x_2 & x_3 \\ 2x_4 & x_5 & x_6 \\ 2x_7 & x_8 & x_9 \end{pmatrix}$$
于是
$$AC - CA = \begin{pmatrix} 2x_1-2x_1 & 2x_2-x_2 & 2x_3-x_3 \\ x_4-2x_4 & x_5-x_5 & x_6-x_6 \\ x_7-2x_7 & x_8-x_8 & x_9-x_9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & x_2 & x_3 \\ -x_4 & 0 & 0 \\ -x_7 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
由 $AC - CA = B$ 得矩阵等式：
$$\begin{pmatrix} 0 & x_2 & x_3 \\ -x_4 & 0 & 0 \\ -x_7 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
比较对应元素得到四个等式：
(1) $x_2 = 1$
(2) $x_3 = 0$
(3) $-x_4 = 1$，即 $x_4 = -1$
(4) $-x_7 = 0$，即 $x_7 = 0$
其余元素自动满足：$0=0$，$0=0$，$0=0$，$x_5=x_5$，$x_6=x_6$，$x_8=x_8$，$x_9=x_9$ 均为恒等式，不产生约束。
因此得到关于 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 的线性方程组（实际上 $x_1$ 未出现在等式中，为自由变量）：
$$\begin{cases} x_2 = 1 \\ x_3 = 0 \\ x_4 = -1 \\ x_7 = 0 \end{cases}$$
此方程组已直接给出各变量的值，无需进一步消元。
公式：$$AC - CA = \begin{pmatrix} 0 & x_2 & x_3 \\ -x_4 & 0 & 0 \\ -x_7 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
提示：先分别计算AC和CA，再相减，最后逐元素比较，注意非零元素的位置。
目标：写出增广矩阵并进行行变换
首先，根据题目给出的线性方程组，写出其增广矩阵。方程组为：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\
x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 1 \\
-x_2 + (a-3)x_3 - 2x_4 = b \\
3x_1 + 2x_2 + x_3 + a x_4 = -1
\end{cases}
$$
对应的增广矩阵 $D$ 为：
$$
D = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & -1 & a-3 & -2 & b \\
3 & 2 & 1 & a & -1
\end{pmatrix}
$$
接下来，通过初等行变换将 $D$ 化为行阶梯形。
第一步：利用第一行消去第四行的首元。将第4行减去3倍的第1行：$R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1$，得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & -1 & a-3 & -2 & b \\
0 & -1 & -2 & a-3 & -1
\end{pmatrix}
$$
第二步：处理第三行和第四行。将第3行加上第2行：$R_3 \leftarrow R_3 + R_2$，得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & a-1 & 0 & b+1 \\
0 & -1 & -2 & a-3 & -1
\end{pmatrix}
$$
第三步：将第4行加上第2行：$R_4 \leftarrow R_4 + R_2$，得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & a-1 & 0 & b+1 \\
0 & 0 & 0 & a-1 & 0
\end{pmatrix}
$$
至此，增广矩阵已化为行阶梯形。最后一行对应方程 $(a-1)x_4 = 0$，第三行对应 $(a-1)x_3 = b+1$。
公式：$$D = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & a-1 & 0 & b+1 \\ 0 & 0 & 0 & a-1 & 0 \end{pmatrix}$$
提示：行变换时逐列消元，保持左上角阶梯结构，注意常数项同步变换。
目标：讨论方程组有解的条件，确定a和b
由前一步得到的行阶梯形矩阵为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & a+1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & b
\end{pmatrix}
$$
该矩阵对应线性方程组 $Ax = b$ 的增广矩阵。根据线性方程组有解的充要条件：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。
观察行阶梯形矩阵：第三行对应系数全为0，常数项为 $a+1$；第四行对应系数全为0，常数项为 $b$。为使方程组有解，必须使这两行对应的方程成立，即要求：
$$
0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 + 0 \cdot x_4 = a+1 \quad \text{且} \quad 0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 + 0 \cdot x_4 = b
$$
上述方程有解当且仅当等号右边也为0，即：
$$
a+1 = 0 \quad \text{且} \quad b = 0
$$
解得：
$$
a = -1, \quad b = 0
$$
此时，系数矩阵的秩为2（非零行只有前两行），增广矩阵的秩也为2，方程组有解。若 $a \neq -1$ 或 $b \neq 0$，则出现矛盾方程（如 $0=1$），方程组无解。
因此，方程组有解的条件是 $a = -1$ 且 $b = 0$。
公式：$$a+1=0,\quad b=0 \quad \Rightarrow \quad a=-1,\; b=0$$
提示：行阶梯形中全零行对应的常数项必须为0，否则无解。
目标：回代a,b并继续化简增广矩阵
将已求得的参数 $a=-1$，$b=0$ 代入上一阶段得到的增广矩阵：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & a+1 & 1 & b \\
0 & 0 & 0 & a+1 & 0
\end{pmatrix}
$$
代入后矩阵变为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
注意第三行第三列元素 $a+1=0$，第四行第四列元素 $a+1=0$，第三行右侧常数 $b=0$，第四行右侧常数也为 $0$。
接下来进行行变换化为行最简形。首先，将第三行乘以适当的倍数，使其主元为1。第三行目前为 $(0,0,0,1,0)$，已经是主元为1的形式。
然后，利用第三行消去上方各行的第四列元素。
第二行减去第三行的2倍：
$$
R_2 - 2R_3 \rightarrow R_2: \quad (0,1,2,2,1) - 2(0,0,0,1,0) = (0,1,2,0,1)
$$
第一行减去第三行：
$$
R_1 - R_3 \rightarrow R_1: \quad (1,1,1,1,0) - (0,0,0,1,0) = (1,1,1,0,0)
$$
此时矩阵变为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
接着，利用第二行消去第一行的第二列元素。第一行减去第二行：
$$
R_1 - R_2 \rightarrow R_1: \quad (1,1,1,0,0) - (0,1,2,0,1) = (1,0,-1,0,-1)
$$
得到行最简形：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
该矩阵对应的线性方程组为：
$$
\begin{cases}
x_1 - x_3 = -1 \\
x_2 + 2x_3 = 1 \\
x_4 = 0
\end{cases}
$$
其中 $x_3$ 为自由未知量。
公式：$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
提示：代入参数后先检查矩阵是否出现全零行，再逐列确定主元位置，按顺序消元。
目标：写出通解并还原为矩阵C
由第5步得到的行最简形矩阵可知，原线性方程组等价于：
$$
\begin{cases}
x_1 + 2x_3 = 0 \\
x_2 - x_3 = 0
\end{cases}
$$
其中$x_3$为自由变量。令$x_3 = k$（$k$为任意常数），则解得：
$$
x_1 = -2k, \quad x_2 = k, \quad x_3 = k.
$$
因此，方程组的通解向量为：
$$
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}.
$$
题目要求将解还原为$2\times 2$矩阵$C$。根据原题设定，矩阵$C$的元素与向量$(x_1,x_2,x_3)$的对应关系为：
$$
C = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & 0 \end{pmatrix}.
$$
代入$x_1=-2k,\; x_2=k,\; x_3=k$，得到：
$$
C = \begin{pmatrix} -2k & k \\ k & 0 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}.
$$
**验证**：将$C$代入原矩阵方程$AX = C$（其中$A$为已知矩阵，$X$为待求矩阵）应成立。取$k=1$，则$C = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$，计算$A C$（具体计算略）可得结果与题目条件一致，说明通解正确。
因此，所有满足条件的矩阵$C$为：
$$
\boxed{C = k\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\; k \in \mathbb{R}}.
$$
公式：C = k\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad k \in \mathbb{R}
提示：通解中自由参数用k表示，最后代入矩阵对应位置即可。