2013年考研数学二第6题

首先，考虑积分区域$D$由四个象限中的区域$D_1, D_2, D_3, D_4$组成，其中$D_1$位于第一象限，$D_3$位于第三象限。观察$D_1$和$D_3$的几何关系：若点$(x,y) \in D_1$，则其关于直线$y=x$的对称点$(y,x)$落在$D_3$中，反之亦然。因此，$D_1$与$D_3$关于直线$y=x$对称。 被积函数为$f(x,y)=y-x$。在对称点$(x,y)$和$(y,x)$处，函数值分别为$f(x,y)=y-x$和$f(y,x)=x-y=-(y-x)$，即$f(y,x) = -f(x,y)$。因此，被积函数在对称点处互为相反数。 由于积分区域$D_1$和$D_3$关于直线$y=x$对称，且被积函数在对称点处取值相反，所以积分$I_1 = \iint_{D_1} (y-x) \, d\sigma$与$I_3 = \iint_{D_3} (y-x) \, d\sigma$满足$I_3 = -I_1$。因此，$I_1 + I_3 = 0$。 同理，对于$D_2$和$D_4$，它们分别位于第二象限和第四象限，且关于直线$y=-x$对称。被积函数$y-x$在关于$y=-x$对称的点处也互为相反数（验证：若$(x,y) \in D_2$，则对称点$(-y,-x) \in D_4$，$f(-y,-x)=(-x)-(-y)=y-x$？此处需注意：实际上$f(-y,-x)=(-x)-(-y)=y-x$，并非相反数，因此$D_2$与$D_4$的对称性需单独分析，但本步骤仅关注$D_1$与$D_3$的对称性。 结论：由对称性可知，$I_1$和$I_3$的代数和为零，即$I_1+I_3=0$。

在第二象限$D_2$中，点的坐标满足$x \leq 0$，$y \geq 0$，且不恒为零（即排除原点）。考虑被积函数$f(x,y) = y - x$。由于$x \leq 0$，所以$-x \geq 0$；又$y \geq 0$，因此$y - x = y + (-x) \geq 0$。进一步，在$D_2$内（除原点外），$y$与$-x$不同时为零，故$y - x > 0$恒成立。因此，在第二象限区域$D_2$上的二重积分$I_2 = \iint_{D_2} (y - x) \, d\sigma$的积分值大于零，即$I_2 > 0$。

第四象限 $D_4$ 由满足 $x \geq 0$ 且 $y \leq 0$ 的点组成。在该区域内，被积函数为 $f(x,y) = y - x$。由于 $x \geq 0$ 且 $y \leq 0$，因此 $y - x \leq -x \leq 0$，且等号仅在 $x=0$ 且 $y=0$ 时成立（该点位于边界上，不影响积分值）。故在第四象限内部恒有 $y - x < 0$。根据二重积分的保号性，若被积函数在区域上恒为负，则积分值也为负，即 $I_4 = \iint_{D_4} (y-x) \, d\sigma < 0$。因此，第四象限对应的积分 $I_4$ 为负数。

根据前几步的分析，我们分别计算了三个积分 $I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \, dx$，$I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sqrt{x}} \, dx$，$I_3 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x^2} \, dx$ 的敛散性。 首先，对于 $I_1$，在 $x \to 0^+$ 时，$\frac{\sin x}{x} \to 1$，因此被积函数在 $x=0$ 处可去间断，积分收敛；在 $x = \frac{\pi}{2}$ 处函数连续，故 $I_1$ 收敛。 对于 $I_2$，在 $x \to 0^+$ 时，$\frac{\sin x}{\sqrt{x}} \sim \frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$，而 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{x} \, dx$ 收敛（因为 $\sqrt{x}$ 在 $0$ 附近可积），且 $x = \frac{\pi}{2}$ 处函数有限，故 $I_2$ 收敛。进一步，由于 $\sin x > 0$ 在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 上成立，且 $\frac{\sin x}{\sqrt{x}} > 0$，所以 $I_2 > 0$。 对于 $I_3$，在 $x \to 0^+$ 时，$\frac{\sin x}{x^2} \sim \frac{1}{x}$，而 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{x} \, dx$ 发散（$p=1$ 的 $p$ 积分发散），故 $I_3$ 发散。 因此，三个积分中只有 $I_2$ 是收敛且为正的。题目所给选项中，只有选项 (B) 表述 $I_2 > 0$ 正确。其他选项如 $I_1 > 0$ 虽数值上也成立，但并非题目所问的唯一正确结论（题目可能要求判断哪个不等式成立），且 $I_3$ 发散，故 $I_3 > 0$ 无意义。所以正确选项为 (B)。