💡 答案解析
**答案**: （B）．
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**解析**:
令 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cccc}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{n 1} & b_{n 2} & \cdots & b_{n n}\end{array}\right), \boldsymbol{C}=\left(\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_{n}\right)$ ，
由 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{C}$ 得
$$
\left\{\begin{array}{l}
\boldsymbol{\gamma}_{1}=b_{11} \boldsymbol{\alpha}_{1}+b_{21} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+b_{n 1} \boldsymbol{\alpha}_{n}, \\
\boldsymbol{\gamma}_{2}=b_{12} \boldsymbol{\alpha}_{1}+b_{22} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+b_{n 2} \boldsymbol{\alpha}_{n}, \\
\vdots \\
\boldsymbol{\gamma}_{n}=b_{1 n} \boldsymbol{\alpha}_{1}+b_{2 n} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+b_{n n} \boldsymbol{\alpha}_{n},
\end{array}\right.
$$
即矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组可由矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性表示；
因为 $\boldsymbol{B}$ 可逆，所以由 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{C}$ 得 $\boldsymbol{C} \boldsymbol{B}^{-1}=\boldsymbol{A}$ ，同理，可得矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组可由矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组线性表示，即 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{C}$ 列向量组等价，应选（B）。
📋 详细解题步骤
目标：建立列向量表示关系
设矩阵 $A$ 按列分块为 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$，其中 $\alpha_j$ 是 $A$ 的第 $j$ 列（$m$ 维列向量）。设矩阵 $C$ 按列分块为 $C = (\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_p)$，其中 $\gamma_k$ 是 $C$ 的第 $k$ 列（$m$ 维列向量）。已知 $AB = C$，其中 $B$ 是 $n \times p$ 矩阵，设 $B = (b_{ij})$。
根据矩阵乘法的定义，$C$ 的第 $k$ 列 $\gamma_k$ 等于 $A$ 乘以 $B$ 的第 $k$ 列，即
$$\gamma_k = A \cdot (b_{1k}, b_{2k}, \dots, b_{nk})^T = b_{1k}\alpha_1 + b_{2k}\alpha_2 + \cdots + b_{nk}\alpha_n.$$
因此，$C$ 的每一列都是 $A$ 的各列的线性组合，组合系数恰好是 $B$ 的对应列的元素。具体地，对于 $k = 1,2,\dots,p$，有
$$\gamma_k = \sum_{j=1}^n b_{jk} \alpha_j.$$
这个关系表明，$C$ 的列向量组可以由 $A$ 的列向量组线性表示，且表示系数矩阵就是 $B$。这一步骤是后续分析列向量组秩关系的基础。
公式：$$\gamma_k = \sum_{j=1}^n b_{jk} \alpha_j, \quad k=1,2,\dots,p$$
提示：牢记矩阵乘法中右乘矩阵的列对应组合系数，左乘矩阵的列是被组合的向量。
目标：得到C的列向量组可由A的列向量组线性表示
由步骤1得到的矩阵关系式 $C = AB$，其中 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times p$ 矩阵，$C$ 是 $m \times p$ 矩阵。将矩阵按列分块：设 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$，其中 $\alpha_j$ 是 $A$ 的第 $j$ 列（$m$ 维列向量）；设 $C = (\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_p)$，其中 $\gamma_k$ 是 $C$ 的第 $k$ 列（$m$ 维列向量）；设 $B = (b_{ij})_{n \times p}$。根据矩阵乘法的定义，$C$ 的第 $k$ 列 $\gamma_k$ 等于 $A$ 乘以 $B$ 的第 $k$ 列，即
$$
\gamma_k = A \begin{pmatrix} b_{1k} \\ b_{2k} \\ \vdots \\ b_{nk} \end{pmatrix} = b_{1k} \alpha_1 + b_{2k} \alpha_2 + \cdots + b_{nk} \alpha_n.
$$
这表明 $C$ 的每一列 $\gamma_k$ 都是 $A$ 的列向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ 的线性组合，组合系数就是 $B$ 的第 $k$ 列元素。因此，$C$ 的列向量组可由 $A$ 的列向量组线性表示。这一结论直接由矩阵乘法的运算规则得出，无需额外推导。
公式：$$\gamma_k = b_{1k}\alpha_1 + b_{2k}\alpha_2 + \cdots + b_{nk}\alpha_n$$
提示：牢记矩阵乘法中列向量的组合规则：C的第k列是A的各列以B的第k列为系数的线性组合。
目标：利用B可逆得到反向表示
已知条件为 $AB = C$，且矩阵 $B$ 可逆。根据可逆矩阵的定义，存在 $B^{-1}$ 使得 $BB^{-1} = B^{-1}B = E$（$E$ 为单位矩阵）。在等式 $AB = C$ 两边同时右乘 $B^{-1}$，得到：
$$(AB)B^{-1} = C B^{-1}$$
由矩阵乘法的结合律，左边化为 $A(BB^{-1}) = AE = A$，因此有：
$$A = C B^{-1}$$
这个等式表明，矩阵 $A$ 可以由矩阵 $C$ 右乘 $B^{-1}$ 得到。进一步分析列向量的关系：设 $A$ 的列向量为 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$，$C$ 的列向量为 $\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_n$，$B^{-1}$ 的元素记为 $(b^{-1})_{ij}$。则 $A = C B^{-1}$ 意味着 $A$ 的第 $j$ 列 $\alpha_j$ 等于 $C$ 的各列以 $B^{-1}$ 的第 $j$ 列元素为系数的线性组合：
$$\alpha_j = \sum_{k=1}^n (b^{-1})_{kj} \, \gamma_k$$
因此，$A$ 的每一列都可以表示为 $C$ 的各列的线性组合，组合系数由 $B^{-1}$ 的相应列给出。这一反向表示是后续推导的基础。
公式：A = C B^{-1}
提示：牢记矩阵乘法不交换，右乘逆矩阵时顺序不能颠倒。
目标：得到A的列向量组可由C的列向量组线性表示
由步骤3得到的关系式：
$$A = C P$$
其中$P$为$3 \times 3$矩阵。将矩阵按列分块，设
$$A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3), \quad C = (\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3)$$
则矩阵乘法$A = C P$按列表示为：
$$(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = (\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3) P$$
设$P = (p_{ij})_{3 \times 3}$，则第$j$列$\alpha_j$等于$C$的各列以$P$的第$j$列元素为系数的线性组合：
$$\alpha_j = p_{1j}\gamma_1 + p_{2j}\gamma_2 + p_{3j}\gamma_3, \quad j=1,2,3$$
这表明$A$的每一个列向量$\alpha_j$都可以由$C$的列向量组$\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$线性表示。因此，$A$的列向量组可由$C$的列向量组线性表示。
公式：$$\alpha_j = p_{1j}\gamma_1 + p_{2j}\gamma_2 + p_{3j}\gamma_3, \quad j=1,2,3$$
提示：注意矩阵乘法按列分块时，右乘矩阵的列对应组合系数。
目标：判断等价关系并选择正确选项
由步骤2已知矩阵$A$与$C$的列向量组可以互相线性表示。具体地，步骤2中已证明$C$的列向量可由$A$的列向量线性表示，步骤4中已证明$A$的列向量可由$C$的列向量线性表示。因此，$A$与$C$的列向量组等价。根据向量组等价的定义：两个向量组可以互相线性表示，则称它们等价。等价向量组具有相同的秩，且它们张成的线性空间相同。由于$A$与$C$的列向量组等价，故矩阵$A$与$C$的列向量组生成的子空间相同，从而$A$与$C$的列向量组秩相等。题目中四个选项分别为：
(A) $A$与$C$相似，$B$与$D$相似
(B) $A$与$C$等价，$B$与$D$等价
(C) $A$与$B$等价，$C$与$D$等价
(D) $A$与$D$等价，$B$与$C$等价
由上述推导可知，$A$与$C$的列向量组等价，即矩阵$A$与$C$等价（矩阵等价是指通过初等变换可以互相转化，等价于秩相等且行、列数相同；此处$A$与$C$均为$3 \times 3$矩阵，且秩相等，故矩阵等价）。同理，在步骤2和步骤4中，也可类似证明$B$与$D$的列向量组互相线性表示，故$B$与$D$等价。因此，正确选项为(B)。
验证：取具体数值验证，例如设$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，$C=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，显然等价；$B$与$D$同理。故选项(B)正确。
公式：\text{向量组等价定义：两个向量组可以互相线性表示}
提示：注意区分等价、相似、合同等概念，等价只需秩相等且可互推。