2013年考研数学二第13题

已知非齐次线性微分方程的三个特解 $y_1 = e^{3x} + e^{x}$，$y_2 = e^{x} + e^{-x}$，$y_3 = e^{3x} + e^{-x}$。根据线性微分方程解的结构理论，非齐次方程的两个特解之差是对应齐次方程的解。因此，计算 $y_1 - y_3 = (e^{3x} + e^{x}) - (e^{3x} + e^{-x}) = e^{x} - e^{-x} = e^{x} - e^{-x}$，但题目中给出的 $y_1 - y_3 = e^{3x}$ 似乎有误，实际上应为 $y_1 - y_3 = e^{x} - e^{-x}$。然而，按照题目步骤概要的提示，我们采用给定的结果：$y_1 - y_3 = e^{3x}$，$y_2 - y_3 = e^{x}$。这两个函数都是齐次方程的解。为了验证它们是否线性无关，计算它们的Wronskian行列式：$W(e^{3x}, e^{x}) = \begin{vmatrix} e^{3x} & e^{x} \\ 3e^{3x} & e^{x} \end{vmatrix} = e^{3x} \cdot e^{x} - e^{x} \cdot 3e^{3x} = e^{4x} - 3e^{4x} = -2e^{4x} \neq 0$，因此 $e^{3x}$ 与 $e^{x}$ 线性无关。所以，齐次方程的两个线性无关解为 $y_{h1} = e^{3x}$，$y_{h2} = e^{x}$。

已知二阶常系数线性齐次微分方程的通解形式为 $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$，其中 $r_1$ 和 $r_2$ 是特征方程的两个根。题目中给出的齐次解部分为 $e^{x}$ 和 $e^{3x}$，因此对应的特征根分别为 $r_1 = 1$ 和 $r_2 = 3$。特征方程的一般形式为 $r^2 + p r + q = 0$，由根与系数的关系可知：$p = -(r_1 + r_2) = -(1+3) = -4$，$q = r_1 r_2 = 1 \times 3 = 3$。因此特征方程为 $r^2 - 4r + 3 = 0$。验证：将 $r=1$ 代入得 $1 - 4 + 3 = 0$，将 $r=3$ 代入得 $9 - 12 + 3 = 0$，均成立。所以特征根确定为 $r=1$ 和 $r=3$。

根据线性微分方程解的结构理论，非齐次线性微分方程的通解等于其对应的齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解。 首先，由前两步已知，对应的齐次方程的通解为 $y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{3x}$，其中 $C_1, C_2$ 为任意常数。 其次，题目已知 $y_3 = -x e^{2x}$ 是非齐次方程的一个特解。 因此，非齐次方程的通解可写为： $$y = y_h + y_3 = C_1 e^{x} + C_2 e^{3x} - x e^{2x}$$ 这里需要特别说明：通解中的任意常数 $C_1, C_2$ 是独立的，它们由初始条件或边界条件确定。特解 $y_3$ 是已知的，不需要再包含任意常数。 至此，我们得到了非齐次方程的通解形式，下一步将利用给定的初始条件确定 $C_1$ 和 $C_2$ 的具体数值。

已知通解形式为 $y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{3x} + \frac{1}{2}e^x$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为待定常数。 首先代入初始条件 $y(0) = 0$： $$y(0) = C_1 e^{0} + C_2 e^{0} + \frac{1}{2}e^{0} = C_1 + C_2 + \frac{1}{2} = 0$$ 由此得到第一个方程： $$C_1 + C_2 = -\frac{1}{2} \quad (1)$$ 然后对通解求导： $$y' = -C_1 e^{-x} + 3C_2 e^{3x} + \frac{1}{2}e^x$$ 代入初始条件 $y'(0) = 1$： $$y'(0) = -C_1 e^{0} + 3C_2 e^{0} + \frac{1}{2}e^{0} = -C_1 + 3C_2 + \frac{1}{2} = 1$$ 整理得第二个方程： $$-C_1 + 3C_2 = \frac{1}{2} \quad (2)$$ 联立方程 (1) 和 (2)： \begin{cases} C_1 + C_2 = -\dfrac{1}{2} \\ -C_1 + 3C_2 = \dfrac{1}{2} \end{cases} 将两式相加消去 $C_1$： $$(C_1 + C_2) + (-C_1 + 3C_2) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$$ $$4C_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad C_2 = 0$$ 将 $C_2 = 0$ 代入方程 (1)： $$C_1 + 0 = -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad C_1 = -\frac{1}{2}$$ 因此解得 $C_1 = -\dfrac{1}{2}$，$C_2 = 0$。