2013年考研数学二第12题

已知曲线的参数方程为： $$ x = \arctan t, \quad y = \ln \sqrt{1 + t^2}. $$ 要求当 $t = 1$ 时对应的点坐标。 首先，将 $t = 1$ 代入 $x$ 的表达式： $$ x = \arctan 1. $$ 由于 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$，因此 $$ x = \frac{\pi}{4}. $$ 接着，将 $t = 1$ 代入 $y$ 的表达式： $$ y = \ln \sqrt{1 + 1^2} = \ln \sqrt{2}. $$ 利用对数性质 $\ln \sqrt{2} = \ln 2^{1/2} = \frac{1}{2} \ln 2$，但通常保留为 $\ln \sqrt{2}$ 的形式即可。 因此，曲线上对应 $t = 1$ 的点坐标为： $$ M_0 \left( \frac{\pi}{4}, \, \ln \sqrt{2} \right). $$ 至此，第一步完成，得到了该点的坐标，为后续求切线方程、法线方程等步骤提供基础。

已知参数方程为： $$\begin{cases} x = \ln(1+t^2) \\ y = t - \arctan t \end{cases}$$ 我们需要求一阶导数 $\frac{dy}{dx}$。根据参数方程求导法则，有： $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$$ 首先，对 $x = \ln(1+t^2)$ 关于 $t$ 求导： $$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{1+t^2} \cdot 2t = \frac{2t}{1+t^2}$$ 其次，对 $y = t - \arctan t$ 关于 $t$ 求导： $$\frac{dy}{dt} = 1 - \frac{1}{1+t^2} = \frac{1+t^2 - 1}{1+t^2} = \frac{t^2}{1+t^2}$$ 因此， $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\frac{t^2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}} = \frac{t^2}{2t} = \frac{t}{2}$$ 注意：题目步骤概要中给出的结果为 $t$，但根据正确的求导计算，结果应为 $\frac{t}{2}$。此处以正确计算为准。

我们已经得到参数方程确定的函数的一阶导数为 $\frac{dy}{dx} = t$。现在需要求 $t=1$ 处的切线斜率。将 $t=1$ 代入导数表达式： $$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=1} = 1$$ 因此，在 $t=1$ 对应的点处，切线的斜率 $k_t = 1$。 注意：这里的 $t=1$ 是参数值，对应的直角坐标点可由参数方程 $x = \ln(1+t^2)$，$y = t - \arctan t$ 在 $t=1$ 时得到，但本步骤仅需求斜率，无需计算具体坐标。

在求出切线斜率 $k_t = -1$ 之后，根据法线与切线垂直的几何性质，法线斜率 $k_n$ 满足 $k_t \cdot k_n = -1$。代入 $k_t = -1$，得到 $-1 \cdot k_n = -1$，解得 $k_n = 1$。因此，法线斜率为 $1$。

由前一步骤已知，曲线在点 $(\frac{\pi}{4}, \ln\sqrt{2})$ 处的切线斜率为 $k_{\text{切}} = 1$，则法线斜率为 $k_{\text{法}} = -\frac{1}{k_{\text{切}}} = -1$。 利用点斜式方程，过点 $(x_0, y_0)$ 且斜率为 $k$ 的直线方程为 $y - y_0 = k(x - x_0)$。代入 $x_0 = \frac{\pi}{4}$，$y_0 = \ln\sqrt{2}$，$k = -1$，得： $$y - \ln\sqrt{2} = -1 \cdot \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$$ 即 $$y - \ln\sqrt{2} = -x + \frac{\pi}{4}$$ 将方程整理为一般式 $Ax + By + C = 0$。移项，将所有项移至等号左侧： $$y - \ln\sqrt{2} + x - \frac{\pi}{4} = 0$$ 交换顺序，写成 $x + y - \frac{\pi}{4} - \ln\sqrt{2} = 0$。 因此，所求法线方程为： $$x + y - \frac{\pi}{4} - \ln\sqrt{2} = 0$$ 验证：将点 $(\frac{\pi}{4}, \ln\sqrt{2})$ 代入方程左边： $$\frac{\pi}{4} + \ln\sqrt{2} - \frac{\pi}{4} - \ln\sqrt{2} = 0$$ 满足方程，说明结果正确。 最终答案：$x + y - \frac{\pi}{4} - \ln\sqrt{2} = 0$。