2013年考研数学二第16题

首先，根据题目描述，积分区域 $D$ 是由曲线 $y = x^{1/3}$、直线 $x = a$（其中 $a > 0$）以及 $x$ 轴（即 $y = 0$）所围成的平面区域。我们需要明确该区域的具体范围。曲线 $y = x^{1/3}$ 在 $x \geq 0$ 上单调递增，且经过原点 $(0,0)$ 和点 $(a, a^{1/3})$。直线 $x = a$ 是一条垂直于 $x$ 轴的直线，$x$ 轴是 $y = 0$ 的水平线。因此，区域 $D$ 可以描述为：对于 $x$ 从 $0$ 到 $a$，$y$ 从下边界 $y = 0$ 到上边界 $y = x^{1/3}$。即 $D = \{ (x, y) \mid 0 \leq x \leq a, \ 0 \leq y \leq x^{1/3} \}$。旋转轴为 $x$ 轴（即 $y = 0$），后续步骤将围绕该轴旋转区域 $D$ 以计算旋转体的体积。明确区域和旋转轴是后续建立积分表达式的关键基础。

根据圆盘法（Disk Method），曲线 $y = f(x)$ 在区间 $[0, a]$ 上绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积公式为： $$V_x = \pi \int_0^a [f(x)]^2 \, dx$$ 本题中，曲线方程为 $y = x^{1/3}$，因此 $f(x) = x^{1/3}$。代入公式得： $$V_x = \pi \int_0^a (x^{1/3})^2 \, dx = \pi \int_0^a x^{2/3} \, dx$$ 接下来计算该定积分。根据幂函数积分公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$），这里 $n = \frac{2}{3}$，所以： $$\int x^{2/3} \, dx = \frac{x^{2/3+1}}{2/3+1} = \frac{x^{5/3}}{5/3} = \frac{3}{5} x^{5/3}$$ 因此： $$V_x = \pi \left[ \frac{3}{5} x^{5/3} \right]_0^a = \pi \cdot \frac{3}{5} (a^{5/3} - 0^{5/3}) = \frac{3\pi}{5} a^{5/3}$$ 所以，绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积为 $V_x = \frac{3\pi}{5} a^{5/3}$。

本步骤的目标是通过定积分计算旋转体体积 $V_x$。由前一步骤已知，旋转体体积公式为 $V_x = \pi \int_0^a y^2 \, dx$，其中 $y = x^{1/3}$，因此 $y^2 = (x^{1/3})^2 = x^{2/3}$。代入得： $$V_x = \pi \int_0^a x^{2/3} \, dx.$$ 计算该定积分： 首先，根据幂函数积分公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$），这里 $n = \frac{2}{3}$，则 $n+1 = \frac{5}{3}$。于是： $$\int_0^a x^{2/3} \, dx = \left[ \frac{x^{5/3}}{5/3} \right]_0^a = \frac{3}{5} \left[ x^{5/3} \right]_0^a = \frac{3}{5} a^{5/3}.$$ 因此，旋转体体积为： $$V_x = \pi \cdot \frac{3}{5} a^{5/3} = \frac{3\pi}{5} a^{5/3}.$$ 至此，我们得到了 $V_x$ 关于参数 $a$ 的表达式。注意，$a^{5/3}$ 表示 $a$ 的 $5/3$ 次幂，即 $\sqrt[3]{a^5}$ 或 $(\sqrt[3]{a})^5$。该结果将用于后续步骤中与 $V_y$ 的比较或计算。

本步骤使用柱壳法计算平面区域绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。柱壳法的基本思想是将旋转体分割成一系列平行于旋转轴的薄壳，每个薄壳的体积近似为$2\pi x y \, dx$，其中$x$为壳到旋转轴的距离，$y$为壳的高度。对于本题，区域由曲线$y = x^{1/3}$、$x$轴及直线$x = a$（$a > 0$）围成，绕y轴旋转。 根据柱壳法公式，体积为： $$V_y = 2\pi \int_0^a x \cdot y \, dx$$ 将$y = x^{1/3}$代入，得： $$V_y = 2\pi \int_0^a x \cdot x^{1/3} \, dx = 2\pi \int_0^a x^{1 + 1/3} \, dx = 2\pi \int_0^a x^{4/3} \, dx$$ 接下来计算定积分。利用幂函数积分公式$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$），这里$n = \frac{4}{3}$，则： $$\int_0^a x^{4/3} \, dx = \left[ \frac{x^{4/3 + 1}}{4/3 + 1} \right]_0^a = \left[ \frac{x^{7/3}}{7/3} \right]_0^a = \frac{3}{7} \left[ x^{7/3} \right]_0^a = \frac{3}{7} a^{7/3}$$ 因此，体积为： $$V_y = 2\pi \cdot \frac{3}{7} a^{7/3} = \frac{6\pi}{7} a^{7/3}$$ 此结果即为绕y轴旋转所得旋转体的体积表达式。注意，这里假设$a > 0$，且积分下限为0，因为曲线在$x=0$处与$x$轴相交。

本步骤的目标是通过积分计算旋转体体积 $V_y$。根据前一步骤，$V_y$ 的表达式为： $$V_y = 2\pi \int_0^a x^{4/3} \, dx.$$ 首先计算定积分 $\int_0^a x^{4/3} \, dx$。由幂函数积分公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$），这里 $n = \frac{4}{3}$，则 $n+1 = \frac{4}{3} + 1 = \frac{7}{3}$。因此： $$\int_0^a x^{4/3} \, dx = \left[ \frac{x^{7/3}}{7/3} \right]_0^a = \left[ \frac{3}{7} x^{7/3} \right]_0^a = \frac{3}{7} a^{7/3} - 0 = \frac{3}{7} a^{7/3}.$$ 将积分结果代入 $V_y$ 表达式： $$V_y = 2\pi \cdot \frac{3}{7} a^{7/3} = \frac{6\pi}{7} a^{7/3}.$$ 因此，旋转体体积 $V_y$ 的表达式为 $\frac{6\pi}{7} a^{7/3}$。注意，这里 $a$ 是题目中给定的正常数，最终结果以 $a$ 表示。

由步骤5已得旋转体的体积表达式： $$V_x = \frac{3\pi}{5} a^{\frac{5}{3}}, \quad V_y = \frac{6\pi}{7} a^{\frac{7}{3}}$$ 根据题目条件 $V_y = 10V_x$，代入得： $$\frac{6\pi}{7} a^{\frac{7}{3}} = 10 \cdot \frac{3\pi}{5} a^{\frac{5}{3}}$$ 两边同时约去公共因子 $\pi$（$\pi \neq 0$）： $$\frac{6}{7} a^{\frac{7}{3}} = 10 \cdot \frac{3}{5} a^{\frac{5}{3}}$$ 计算右边系数：$10 \cdot \frac{3}{5} = 6$，故方程化为： $$\frac{6}{7} a^{\frac{7}{3}} = 6 a^{\frac{5}{3}}$$ 两边同时除以6（$6 \neq 0$）： $$\frac{1}{7} a^{\frac{7}{3}} = a^{\frac{5}{3}}$$ 将 $a^{\frac{7}{3}}$ 写成 $a^{\frac{5}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}}$，代入得： $$\frac{1}{7} a^{\frac{5}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{5}{3}}$$ 由于 $a > 0$（曲线与坐标轴围成区域，$a$ 应为正数），$a^{\frac{5}{3}} \neq 0$，两边同除以 $a^{\frac{5}{3}}$： $$\frac{1}{7} a^{\frac{2}{3}} = 1$$ 即 $$a^{\frac{2}{3}} = 7$$ 两边同时取 $\frac{3}{2}$ 次幂（或两边立方再开平方）： $$a = 7^{\frac{3}{2}} = \sqrt{7^3} = \sqrt{343} = 7\sqrt{7}$$ 因此，所求参数 $a = 7\sqrt{7}$。 **验证**：将 $a = 7\sqrt{7}$ 代入原体积表达式： $$V_x = \frac{3\pi}{5} (7\sqrt{7})^{\frac{5}{3}} = \frac{3\pi}{5} \cdot 7^{\frac{5}{2}} = \frac{3\pi}{5} \cdot 7^2 \cdot \sqrt{7} = \frac{147\pi\sqrt{7}}{5}$$ $$V_y = \frac{6\pi}{7} (7\sqrt{7})^{\frac{7}{3}} = \frac{6\pi}{7} \cdot 7^{\frac{7}{2}} = \frac{6\pi}{7} \cdot 7^3 \cdot \sqrt{7} = 294\pi\sqrt{7}$$ 计算 $10V_x = 10 \cdot \frac{147\pi\sqrt{7}}{5} = 294\pi\sqrt{7} = V_y$，满足条件，结果正确。