2013年考研数学二第15题

方法一

由 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{1-\cos x \cdot \cos 2 x \cdot \cos 3 x}{x^{2}}$

$$ \begin{aligned} & =\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1-\cos x}{x^{2}}+\frac{\cos x-\cos x \cos 2 x}{x^{2}}+\frac{\cos x \cos 2 x-\cos x \cos 2 x \cos 3 x}{x^{2}}\right) \\ & =\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1-\cos x}{x^{2}}+\cos x \frac{1-\cos 2 x}{x^{2}}+\cos x \cos 2 x \frac{1-\cos 3 x}{x^{2}}\right) \\ & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}}+\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{x^{2}}+\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 3 x}{x^{2}}=\frac{1}{2}+\frac{4}{2}+\frac{9}{2}=7 \end{aligned} $$

得 $1-\cos x \cos 2 x \cos 3 x \sim 7 x^{2}$ ，故 $n=2, a=7$ ． 方法二 由麦克劳林公式得 $\cos x=1-\displaystyle\frac{x^{2}}{2!}+o\left(x^{2}\right), \cos 2 x=1-\displaystyle\frac{4}{2!} x^{2}+o\left(x^{2}\right), \cos 3 x=1-\displaystyle\frac{9}{2!} x^{2}+o\left(x^{2}\right)$ ， 从而 $\cos x \cos 2 x \cos 3 x=1-\displaystyle\frac{1+4+9}{2!} x^{2}+o\left(x^{2}\right)=1-7 x^{2}+o\left(x^{2}\right)$ ， 于是 $1-\cos x \cos 2 x \cos 3 x=7 x^{2}+o\left(x^{2}\right) \sim 7 x^{2}(x \rightarrow 0$ 时），故 $n=2, a=7$ ． 方法点评：本题考查无穷小的阶与等价无穷小。 涉及余弦函数的无穷小有一个等价无穷小的公式： $1-\cos x \sim \displaystyle\frac{1}{2} x^{2}(x \rightarrow 0$ 时）． 事实上这个公式可以推广成更广泛的公式： $1-\cos ^{a} x \sim \displaystyle\frac{a}{2} x^{2}(x \rightarrow 0$ 时）． 【例 1】求 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{1-\sqrt{\cos x}}{x-\ln (1+x)}$ ． 【解】 $1-\sqrt{\cos x}=1-\cos ^{\displaystyle\frac{1}{2}} x \sim \displaystyle\frac{1}{4} x^{2}$ ， 由 $\ln (1+x)=x-\displaystyle\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right)$ ，得 $x-\ln (1+x) \sim \displaystyle\frac{1}{2} x^{2}$ ， 于是 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{1-\sqrt{\cos x}}{x-\ln (1+x)}=\displaystyle\frac{1}{2}$ ． 【例 2】计算 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{1-\sqrt{\cos x} \cdot \sqrt{\cos 2 x} \cdot \sqrt{\cos 3 x}}{x \arcsin x}$ ． 【解】 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{1-\sqrt{\cos x} \cdot \sqrt{\cos 2 x} \cdot \sqrt{\cos 3 x}}{x \arcsin x}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{1-\sqrt{\cos x} \cdot \sqrt{\cos 2 x} \cdot \sqrt{\cos 3 x}}{x^{2}}$

$$ \begin{aligned} & =\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1-\sqrt{\cos x}}{x^{2}}+\sqrt{\cos x} \cdot \frac{1-\sqrt{\cos 2 x}}{x^{2}}+\sqrt{\cos x} \sqrt{\cos 2 x} \cdot \frac{1-\sqrt{\cos 3 x}}{x^{2}}\right) \\ & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{\cos x}}{x^{2}}+\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{\cos 2 x}}{x^{2}}+\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{\cos 3 x}}{x^{2}} \\ & =\frac{1}{4}+\frac{4}{4}+\frac{9}{4}=\frac{7}{2} \end{aligned} $$

（16） 【解】由旋转体的体积公式得 $V_{x}=\pi \displaystyle\int_{0}^{a} y^{2} \mathrm{~d} x=\pi \displaystyle\int_{0}^{a} x^{\displaystyle\frac{2}{3}} \mathrm{~d} x=\displaystyle\frac{3 \pi}{5} a^{\displaystyle\frac{5}{3}}$, $V_{y}=2 \pi \displaystyle\int_{0}^{a} x y \mathrm{~d} x=2 \pi \displaystyle\int_{0}^{a} x^{\displaystyle\frac{4}{3}} \mathrm{~d} x=\displaystyle\frac{6 \pi}{7} a^{\displaystyle\frac{7}{3}}$, 由 $V_{y}=10 V_{x}$ 得 $a=7 \sqrt{7}$ ． 

三（16）题图

三（17）题图 

三（17）题图