💡 答案解析
**答案**: $y=-\displaystyle\frac{2}{\pi} x+\displaystyle\frac{\pi}{2}$ ．
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**解析**:
$L$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\theta \cos \theta, \\ y=\theta \sin \theta,\end{array}\right.$ 当 $\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}$ 时，$L$ 上对应的点为 $M_{0}\left(0, \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)$ ，由 $\displaystyle\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\displaystyle\frac{\mathrm{d} y / \mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} x / \mathrm{d} \theta}=\displaystyle\frac{\sin \theta+\theta \cos \theta}{\cos \theta-\theta \sin \theta}$ ，得 $\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}}=-\displaystyle\frac{2}{\pi}$ ，
切线方程为 $y-\displaystyle\frac{\pi}{2}=-\displaystyle\frac{2}{\pi}(x-0)$ ，即 $y=-\displaystyle\frac{2}{\pi} x+\displaystyle\frac{\pi}{2}$ ．
📋 详细解题步骤
目标：写出曲线的参数方程
已知曲线的极坐标方程为 $r = \theta$（$\theta \geq 0$）。为了将其转化为直角坐标系下的参数方程，我们利用极坐标与直角坐标的转换关系：
$$x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta.$$
将 $r = \theta$ 代入上述关系式，得到
$$x = \theta \cos \theta, \quad y = \theta \sin \theta.$$
这里 $\theta$ 作为参数，取值范围由原极坐标方程确定，通常 $\theta \geq 0$。因此，曲线的参数方程为
$$\begin{cases} x = \theta \cos \theta, \\ y = \theta \sin \theta, \end{cases} \quad \theta \geq 0.$$
该参数方程描述了从极点出发、随着角度 $\theta$ 增大而半径线性增大的螺旋线（即阿基米德螺线）。
公式：$$\begin{cases} x = \theta \cos \theta, \\ y = \theta \sin \theta \end{cases} \quad (\theta \geq 0)$$
提示：牢记极坐标与直角坐标转换公式 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$，代入即可。
目标：确定切点坐标
已知曲线的参数方程为 $x = \theta(1 - \cos\theta)$，$y = \theta(1 - \sin\theta)$。题目要求曲线在 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 处的切线方程，因此首先需要确定切点的坐标。将 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 代入参数方程：
对于 $x$ 坐标：
$$x = \frac{\pi}{2}\left(1 - \cos\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}(1 - 0) = \frac{\pi}{2}.$$
对于 $y$ 坐标：
$$y = \frac{\pi}{2}\left(1 - \sin\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}(1 - 1) = 0.$$
因此切点坐标为 $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$。注意：题目步骤概要中给出的切点为 $(0, \pi/2)$，这是错误的，正确结果应为 $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$。在后续步骤中，我们将以此切点为基础，计算切线斜率并写出切线方程。
公式：$$x = \theta(1 - \cos\theta), \quad y = \theta(1 - \sin\theta)$$
提示：代入参数值时要仔细区分 $x$ 和 $y$ 的表达式，并准确记忆特殊角的三角函数值。
目标：求切线斜率
已知曲线的参数方程为 $x = \theta \cos \theta$，$y = \theta \sin \theta$，其中 $\theta$ 为参数。我们需要求在 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 处的切线斜率。
根据参数方程求导法则，切线斜率 $k = \frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$。
首先计算 $\frac{dy}{d\theta}$：
$$\frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(\theta \sin \theta) = \sin \theta + \theta \cos \theta.$$
再计算 $\frac{dx}{d\theta}$：
$$\frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(\theta \cos \theta) = \cos \theta - \theta \sin \theta.$$
因此，
$$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin \theta + \theta \cos \theta}{\cos \theta - \theta \sin \theta}.$$
将 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 代入上式：
$$\sin\frac{\pi}{2} = 1,\quad \cos\frac{\pi}{2} = 0,$$
$$\frac{dy}{dx}\bigg|_{\theta = \frac{\pi}{2}} = \frac{1 + \frac{\pi}{2} \cdot 0}{0 - \frac{\pi}{2} \cdot 1} = \frac{1}{-\frac{\pi}{2}} = -\frac{2}{\pi}.$$
所以，所求切线斜率为 $k = -\frac{2}{\pi}$。
公式：$$k = \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{\sin \theta + \theta \cos \theta}{\cos \theta - \theta \sin \theta}$$
提示：牢记参数方程求导公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$，并正确使用乘积法则。
目标：写出切线方程并化简
由前一步骤已知切点坐标为 $(0, \frac{\pi}{2})$，切线斜率为 $k = -\frac{2}{\pi}$。根据直线的点斜式方程，过点 $(x_0, y_0)$ 且斜率为 $k$ 的直线方程为 $y - y_0 = k(x - x_0)$。代入 $x_0 = 0$，$y_0 = \frac{\pi}{2}$，$k = -\frac{2}{\pi}$，得：
$$
y - \frac{\pi}{2} = -\frac{2}{\pi} (x - 0)
$$
化简上式：将 $x - 0$ 简化为 $x$，得
$$
y - \frac{\pi}{2} = -\frac{2}{\pi} x
$$
移项，将 $\frac{\pi}{2}$ 移到等号右边：
$$
y = -\frac{2}{\pi} x + \frac{\pi}{2}
$$
此即为所求切线方程。
**验证**：将 $x = 0$ 代入，得 $y = \frac{\pi}{2}$，与切点纵坐标一致；斜率 $k = -\frac{2}{\pi}$ 符合前一步计算结果。因此切线方程正确。
公式：y = -\frac{2}{\pi} x + \frac{\pi}{2}
提示：代入点斜式后，注意移项要变号，最终结果可代入切点验证。