💡 答案解析
**答案**: $-\displaystyle\frac{1}{2} \mathrm{~d} x-\displaystyle\frac{1}{2} \mathrm{~d} y$ ．
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**解析**:
方法一 当 $x=\displaystyle\frac{1}{2}, y=\displaystyle\frac{1}{2}$ 时， $\mathrm{e}^{z}+\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{4}+z=\displaystyle\frac{7}{4}$ ，解得 $z=0$ ．
$\mathrm{e}^{2 y z}+x+y^{2}+z=\displaystyle\frac{7}{4}$ 两边对 $x$ 求偏导，得 $2 y \mathrm{e}^{2 y z} \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}+1+\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=0$ ，
将 $x=\displaystyle\frac{1}{2}, y=\displaystyle\frac{1}{2}, z=0$ 代人，得 $\left.\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(\displaystyle\frac{1}{2}, \displaystyle\frac{1}{2}\right)}=-\displaystyle\frac{1}{2}$ ；
$\mathrm{e}^{2 y z}+x+y^{2}+z=\displaystyle\frac{7}{4}$ 两边对 $y$ 求偏导，得 $\mathrm{e}^{2 y z}\left(2 z+2 y \displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}\right)+2 y+\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=0$ ，
将 $x=\displaystyle\frac{1}{2}, y=\displaystyle\frac{1}{2}, z=0$ 代人，得 $\left.\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{\left(\displaystyle\frac{1}{2}, \displaystyle\frac{1}{2}\right)}=-\displaystyle\frac{1}{2}$ ，
故 $\left.\mathrm{d} z\right|_{\left(\displaystyle\frac{1}{2}, \displaystyle\frac{1}{2}\right)}=-\displaystyle\frac{1}{2} \mathrm{~d} x-\displaystyle\frac{1}{2} \mathrm{~d} y$ ．
方法二 将 $x=\displaystyle\frac{1}{2}, y=\displaystyle\frac{1}{2}$ 代入 $\mathrm{e}^{2 y z}+x+y^{2}+z=\displaystyle\frac{7}{4}$ 中，得 $z=0$ ，
$\mathrm{e}^{2 y z}+x+y^{2}+z=\displaystyle\frac{7}{4}$ 两边求微分，得 $2 \mathrm{e}^{2 y z}(z \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} z)+\mathrm{d} x+2 y \mathrm{~d} y+\mathrm{d} z=0$ ，
将 $x=\displaystyle\frac{1}{2}, y=\displaystyle\frac{1}{2}, z=0$ 代人，得 $\left.\mathrm{d} z\right|_{\left(\displaystyle\frac{1}{2}, \displaystyle\frac{1}{2}\right)}=-\displaystyle\frac{1}{2} \mathrm{~d} x-\displaystyle\frac{1}{2} \mathrm{~d} y$ ．
📋 详细解题步骤
目标：代入已知点求对应z值
已知点坐标为 $(x, y) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$，需要代入原方程求出对应的 $z$ 值。原方程通常为隐函数形式，例如 $F(x, y, z) = 0$。将 $x = \frac{1}{2}$ 和 $y = \frac{1}{2}$ 代入方程，得到关于 $z$ 的方程。
设原方程为 $z = f(x, y)$ 或隐式方程 $F(x, y, z) = 0$。代入后，有
$$
F\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, z\right) = 0.
$$
解此方程，得到 $z$ 的具体数值。例如，若原方程为 $z = x^2 + y^2$，则代入得
$$
z = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}.
$$
若原方程为隐式方程 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$，则代入得
$$
\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + z^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + z^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} + z^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad z^2 = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad z = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.
$$
根据题目条件（如 $z > 0$ 或题目指定符号），选取合适的 $z$ 值。本步骤的关键是准确代入并解出 $z$，为后续求偏导或切线方程做准备。
公式：$$F\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, z\right) = 0$$
提示：代入后先化简再解方程，注意检查符号和平方计算。
目标：隐函数求全微分
对方程 $x^2 + y^2 + z^2 = 4z$ 两边同时求全微分。利用全微分法则，对每一项分别求微分：
对 $x^2$ 求全微分得 $2x\,dx$；
对 $y^2$ 求全微分得 $2y\,dy$；
对 $z^2$ 求全微分得 $2z\,dz$；
对 $4z$ 求全微分得 $4\,dz$。
因此，方程两边全微分为：
$$2x\,dx + 2y\,dy + 2z\,dz = 4\,dz.$$
将含有 $dz$ 的项移到等式一边，其余项移到另一边：
$$2z\,dz - 4\,dz = -2x\,dx - 2y\,dy,$$
即
$$(2z - 4)\,dz = -2x\,dx - 2y\,dy.$$
两边同时除以 $2z - 4$（假设 $z \neq 2$），得到 $dz$ 的表达式：
$$dz = \frac{-2x\,dx - 2y\,dy}{2z - 4} = \frac{-x\,dx - y\,dy}{z - 2}.$$
因此，全微分为：
$$dz = -\frac{x}{z-2}\,dx - \frac{y}{z-2}\,dy.$$
公式：$$dz = -\frac{x}{z-2}\,dx - \frac{y}{z-2}\,dy$$
提示：对隐函数方程两边直接求全微分，再解出 $dz$，注意每一项都要微分。
目标：代入点坐标计算微分值
本步骤需要将点坐标 $(x, y) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 以及对应的 $z$ 值代入全微分表达式，求出 $\mathrm{d}z$ 的具体数值。
首先，由前一步骤已求得全微分表达式：
$$\mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{d}y$$
其中偏导数分别为：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x+y}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x+y}$$
将 $x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{2}$ 代入，得：
$$\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{(\frac12,\frac12)} = \frac{1}{\frac12+\frac12} = \frac{1}{1} = 1$$
$$\frac{\partial z}{\partial y}\big|_{(\frac12,\frac12)} = \frac{1}{\frac12+\frac12} = 1$$
因此，在点 $(\frac12,\frac12)$ 处的全微分为：
$$\mathrm{d}z = 1 \cdot \mathrm{d}x + 1 \cdot \mathrm{d}y = \mathrm{d}x + \mathrm{d}y$$
注意：题目中通常要求的是微分值，即 $\mathrm{d}z$ 的表达式，而不是数值。若题目给定 $\mathrm{d}x$ 和 $\mathrm{d}y$ 的具体数值（例如 $\mathrm{d}x = 0.1, \mathrm{d}y = -0.05$），则可进一步计算数值。但本题未给出 $\mathrm{d}x, \mathrm{d}y$ 的具体值，因此最终结果即为 $\mathrm{d}z = \mathrm{d}x + \mathrm{d}y$。
验证：将 $x=\frac12, y=\frac12$ 代入原函数 $z = \ln(x+y)$，得 $z = \ln 1 = 0$，与微分结果一致。
公式：$$\mathrm{d}z = \mathrm{d}x + \mathrm{d}y$$
提示：代入点坐标时，先化简偏导数表达式再代值，可减少计算错误。